Гипергеометрическое распределение

Прежде чем дать определение гипергеометрического распределения, рассмотрим задачу. Пусть в партии из N изделий имеется М стандартных (М < N). Из партии случайно отбирают n изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию (поэтому формула Бернулли здесь неприменима). Обозначим через X случайную величину – число m стандартных изделий среди n отобранных. Очевидно, возможные значения X таковы: 0, 1, 2,..., min(M, n).

Найдем вероятность того, что X = m, то есть что среди n отобранных изделий ровно m стандартных. Используем для этого классическое определение вероятности.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь n изделий из N изделий, то есть числу сочетаний .

Найдем число исходов, благоприятствующих событию Х = m (среди взятых n изделий ровно m стандартных); m стандартных изделий можно извлечь из М стандартных изделий способами; при этом остальные n – m изделий должны быть нестандартными; взять же n – m нестандартных изделий из N – m нестандартных изделий можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно (правило умножения).

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию Х = m, к числу всех элементарных исходов

. (5.3)

Формула (5.3) определяет распределение вероятностей, которое называют гипергеометрическим.

Учитывая, что m – случайная величина, заключаем, что гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами: N, М, n. Иногда в качестве параметров этого распределения рассматривают N, n и p = M/N, где р – вероятность того, что первое извлеченное изделие стандартное.

Заметим, что если n значительно меньше N (практически если n < 0,1 N), то гипергеометрическое распределение дает вероятности, близкие к вероятностям, найденным по биномиальному закону.

Пример. Среди 50 изделий 20 окрашенных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 изделий окажется ровно 3 окрашенных.

Решение. По условию, N = 50, М = 20, n = 5, m = 3. Искомая вероятность

.

Дата добавления: 2014-01-20