Совокупность приемов наименования и обозначение чисел называется системой исчисления. В качестве условных знаков для записи чисел используются цифры

Система счисления, в которой значение каждой цифры в произвольном месте последовательности цифр, обозначающей запись числа, не изменяется, называется непозиционной. Система исчисления, в которой значение каждой цифры зависит от места в последовательности цифр в записи числа, называется позиционной.

Чтобы определить число, недостаточно знать тип и алфавит системы счисления. Для этого необходимо еще использовать правила, которые позволяют по значениям цифр установить значение числа. Хорошо известным примером непозиционной системы исчисления является римская система, в которой роль цифр играют буквы алфавита: І - один, V - пять, Х - десять, С - сто, L - пятьдесят, D -пятьсот, М - тысяча. Например, 324 = СССХХІ.

Позиционные системы исчисления. Общепринятой в современном мире является десятичная позиционная система исчисления. Основой системы является число десять. Основой системы исчисления называется число, означающее, во сколько раз единица следующего разряда больше чем единица предыдущего.

Общеупотребительной формой записи числа является сокращенная форма записи разложения по степеням основы системы исчисления, т.е. любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена

X_s={A_nA_n-1...A₁A₀}_s=A_n•Sⁿ+A_n-1•S^n-1+...+A₁•S¹+A₀•S⁰, где s - основание с/с; А - значащие цифры числа, записанные в данной с/с; n - количество разрядов числа

Пример. Число 5341₁₀ запишем в форме многочлена: 5341₁₀=5•10³+3•10²+4•10¹+1•10⁰

Здесь 10 служит основой системы исчисления, а показатель степени - это номер позиции цифры в записи числа (нумерация ведется слева на право, начиная с нуля). Арифметические операции в этой системе выполняют по правилам, предложенным еще в средневековье. Например, складывая два многозначных числа, применяем правило сложения столбиком. При этом все сводится к сложению однозначных чисел, для которых необходимо знать таблицу сложения.

Представление числовых и нечисловых данных в компьютере. Единицы измерения информации и объема данных. Любое сообщение на любом языке состоит из последовательности символов- букв, цифр, знаков. Из этих букв образуются слова, которые в свою очередь, вместе с цифрами и знаками препинания образуют предложения, в результате чего и создается текстовое сообщение. Не является исключением и язык компьютера, только набор букв в этом языке является минимально возможным.

Проблема выбора системы исчисления для представления чисел в памяти компьютера имеет большое практическое значение. В случае ее выбора обычно учитываются такие требования, как надежность представления чисел при использовании физических элементов, экономичность (использование таких систем исчисления, в которых количество элементов для представления чисел из некоторого диапазона было бы минимальном).

В ЭВМ используются 2 символа: 0 и 1. Это связано с тем, что информацию, представленную в таком виде, легко технически смоделировать, например в виде электрических сигналов. Если в какой-то момент времени по проводнику идет ток, то по нему передается единица, если тока нет- ноль.

Объем информации, необходимый для запоминания одного из двух символов-0 или 1, называется 1 бит (англ. binary digit- двоичная единица). 1 бит - минимально возможный объем информации.

Итак, если у нас есть один бит, то с его помощью мы можем закодировать один из двух символов- либо 0, либо 1. Если же есть 2 бита, то из них можно составить один из четырех вариантов кодов: 00, 01, 10, 11. Если есть 3 бита- один из восьми: 000, 001, 010, 100, 110, 101, 011, 111. Закономерность очевидна: N бит - 2 в степени N вариантов.

В обычной жизни нам достаточно 150-160 стандартных символов. Если каждому из них будет соответствовать свой код из нулей и единиц, то 7 бит для этого будет недостаточно (7 бит позволят закодировать только 128 различных символов), поэтому для кодирования одного привычного человеку символа в ЭВМ используется 8 бит, что позволяет закодировать 256 различных символов.

Стандартный набор из 256 символов называется ASCII (произносится "аски", означает "Американский Стандартный Код для Обмена Информацией". Он включает в себя большие и маленькие русские и латинские буквы, цифры, знаки препинания и арифметических действий и т.п. Таким образом, если человек создает текстовый файл и записывает его на диск, то на самом деле каждый введенный человеком символ хранится в памяти компьютера в виде набора из восьми нулей и единиц. Набор ASCII был разработан в США Американским Национальным Институтом Стандартов (ANSI), но может быть использован и в других странах, поскольку вторая половина из 256 стандартных символов, т.е. 128 символов, могут быть с помощью специальных программ заменены на другие, в частности на символы национального алфавита, в нашем случае - буквы кириллицы.

Другая распространённая кодировка носит название КОИ-8 (код обмена информацией, восьмизначный) - её происхождение относится к временам действия Совета Экономической Взаимопомощи государств Восточной Европы. Сегодня кодировка КОИ - 8 имеет широкое распространение в компьютерных сетях на территории России и в российском секторе Интернета.
Международный стандарт, в котором предусмотрена кодировка символов русского языка, носит название ISO (International Standard Organization - Международный институт стандартизации). На практике данная кодировка используется редко.

В настоящее время для кодирования текстовой информации в основном используется стандарт Unicode, как результат сотрудничества Международной организации по стандартизации ведущими производителями компьютеров и программного обеспечения. Цель создания этого стандарта — единая таблица для всех национальных языков (для 25 реально существующих письменностей).

Для кодирования алфавитов всех национальных языков достаточно 16-битного представления (по 2 байта на символ). Т.е. можно закодировать не 256 символов, а 65536 различных символов. Каждому национальному алфавиту выделен свой блок с кодами символов этой письменности.

К настоящему времени кодирование всех официальных письменностей можно считать завершенным. Unicode 3.2 помимо русского языка поддерживает следующие языки народов России с дополнительными кириллическими буквами: башкирский, бурятский, калмыцкий, коми, ненецкий, осетинский и многие другие.

Следует знать, что прописные и строчные буквы имеют разные коды, а многие латинские и русские буквы имеют визуально неразличимые начертания, но разные коды (например А, С).

Объем информации, необходимый для запоминания одного символа ASCII называется 1 байт. Очевидно что, поскольку под один стандартный ASCII-символ отводится 8 бит,

1 байт = 8 бит.

Остальные единицы объема информации являются производными от байта:

1 килобайт = 1024 байта; 1 мегабайт = 1024 килобайтам;

1 гигабайт = 1024 мегабайтам; 1 терабайт = 1024 гигабайтам.

Скорость передачи информации по линиям связи измеряется в бодах. 1 бод = 1 бит/сек.

Восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления. При наладке аппаратных средств ЭBM или создании новой программы часто возникает необходимость заглянуть внутрь памяти ЭВМ, чтобы оценить ее текущее состояние. Но там все заполнено длинными последователями нулей и единиц - двоичными числами. Эти последовательности очень неудобны для восприятия. Поскольку 2³=8, а 2⁴=16, т.е. из трех нулей и единиц можно составить восемь различных двоичных чисел, а из четырех - шестнадцать, то каждых три двоичных разряда числа образовывают один восьмиричный, а каждых четыре двоичных разряда - один шестнадцатиричный. В связи с этим двоичные числа стали разбивать на группы по три или четыре разряда. Поэтому для сокращения записи адресов и содержимого оперативной памяти компьютера используют шестнадцатиричную (для кодирования 4 бит необходимо 16 знаков, для чего используется 10 цифр десятичной системы и 6 букв латинского алфавита) и восьмиричную системы исчисления. Ниже, в таблице 1 приведены первые 16 натуральных чисел записанных в десятичной, двоичной, восьмиричной и шеснадцатиричной системах исчисления.

							A
							B
							C
							D
							E
							F

Таблица 1.

Трехразрядное число, соответствующее цифре восьмеричного числа, называется двоичной триадой.

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую. Для отладки программ и в других ситуациях в программировании актуальной является проблема перевода чисел из одной позиционной системы исчисления в другую.

Алгоритмы перевода. * Для перевода чисел из системы исчисления с основой p в систему исчисления с основой q, используя арифметику новой системы исчисления с основой q, нужно записать коэффициенты разложения, основы степеней и показатели степеней в системе с основой q и выполнить все действия в этой самой системе. Удобно при переводе в десятичную систему исчисления. Например:

из шестнадцатиричной в десятичную:

92C8₁₆=9*10₁₆³+2*10₁₆²+C*10₁₆¹+8*10₁₆⁰= 9*16₁₀³+2*16₁₀²+12*16₁₀¹+8*16₁₀⁰=37576

из восьмиричной в десятичную: 735₈=7*10₈²+3*10₈¹+5*10₈⁰= 7*8₁₀²+3*8₁₀¹+5*8₁₀⁰=477₁₀

из двоичной в десятичную:

110100101₂=1*10₂⁸+1*10₂⁷+0*10₂⁶+1*10₂⁵+0*10₂⁴+0*10₂³+1*10₂²+0*10₂¹+1*10₂⁰= 1*2₁₀⁸+1*2₁₀⁷+0*2₁₀⁶+1*2₁₀⁵+ 0*2₁₀⁴+0*2₁₀³+1*2₁₀²+0*2₁₀¹+ 1*2₁₀⁰=421₁₀

2. Обратная операция. Для перевода чисел из системы исчисления с основой p в систему исчисления с основой q с использованием арифметики старой системы исчисления с основой p нужно:

· для перевода целой части: последовательно число, записанное в системе c старой основой делить на основу новой системы исчисления, выделяя остатки. Последние записанные в обратном порядке, будут образовывать число в новой системе исчисления;

· для перевода дробной части: последовательно дробную часть умножать на основу новой системы исчисления, выделяя целые части, которые и будут образовывать запись дробной части числа в новой системе исчисления.

Этим правилом удобно пользоваться в случае перевода из десятичной системы исчисления, поскольку ее арифметика для нас привычна.

Если основа новой системы исчисления равняется некоторой степени старой системы исчисления, то алгоритм перевода очень простой: нужно сгруппировать справа налево разряды в количестве, равном показателю степени (разбить на триады) и заменить эту группу разрядов соответствующим символом новой системы исчисления. Этим алгоритмом удобно пользоваться при переводе числа из двоичной системы исчисления в восьмиричную или шестнадцатиричную. Например, 10110₂= 10110 =26₈, 1011100₂= 1011100 =5C₈

Перевод чисел из восьмиричной или шестнадцатиричной систем исчисления в двоичную происходит по обратному правилу: один символ старой системы исчисления заменяется группой разрядов новой системы исчисления, в количестве равном показателю степени новой системы исчисления. Например, 472₈= 100111010 =100111010₂, B516= 10110101 =10110101₂

Можно рассматривать два способа перевода чисел из 10-ой системы счисления в 8-ую систему счисления: 1 способ - воспользоваться формулой * разложить число по степеням 8 (деление столбиком) и 2 способ - перевести число сначала в двоичную систему счисления, а затем в 8-ую систему счисления.

Пример. 1 способ: 125₁₀=5•8⁰+7•8¹+1•8²=175₈

2 способ: 125₁₀= 2⁰+2²+2³+2⁴+2⁵•2⁶=1111101₂=175₈

Перевод из 8-ой системы счисления в 10-ую систему счисления производится аналогично переводу чисел из 2 системы счисления в 10-ую систему счисления.

Пример. 273₈=3•8⁰+7•8¹+2•8²=187₁₀

Четырехзначное двоичное число, соответствующее цифре шестнадцатеричного числа, называется двоичной тетрадой.

Переход от шестнадцатеричной системы к двоичной (и обратно) так же прост, как от восьмеричной к двоичной, только заменяются тетрады двоичных цифр на шестнадцатеричную запись.

Пример. В3₁₆=10110011₂ и обратно 1111001110₂=3СЕ₁₆

Таким образом, чтобы перевести число из 10-ой системы счисления в 16-ую можно воспользоваться двумя способами: по формуле * (размножить число по степеням числа 16) или произвести последовательно перевод в 2-ую систему счисления, а затем в 16-ую систему счисления.

Пример. 1 способ 365₁₀=13•16⁰+6•16¹+1•16²=16А₁₆

2 способ 365₁₀=1•2⁰+1•2²+1•2³+1•2⁵+1•2⁶+1•2⁸=101101101₂=16А₁₆

Дата добавления: 2014-01-20