Понятие определенного интеграла и его свойства

Пусть на отрезке задана непрерывная функция причем для определенности

1) Разобьем отрезок на оси точками

на n произвольных частичных отрезков

Означим через длину наибольшего частичного отрезка разбиения: где

2) В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку и

3) составим сумму

Данная сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке

4) Если существует конечный предел I интегральной суммы при не зависящий ни от способа разбиения отрезка , ни от выбора точек внутри каждого отрезка, то этот предел называют определенным интегралом от функции по отрезку и обозначается:

Функция называется подынтегральной функцией, выражение подынтегральным выражением, числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, переменной интегрирования.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на нем.

Теорема 2. Если функция кусочно-непрерывна на отрезке , то она интегрируема на нем.

Таким образом, возвращаясь к рассмотренным выше задачам, получаем:

- масса неоднородного стержня длины l вычисляется по формуле

где функция плотности;

- путь, пройденный неравномерно двигающейся точкой за время от до вычисляется по формуле

где функция скорости.

Геометрическая интерпретация определенного интеграла

Пусть на отрезке задана непрерывная функция , причем на .

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью , прямыми и графиком функции .

Найдем площадь криволинейной трапеции.

1) Разобьем отрезок на оси точками

на n произвольных частичных отрезков

Означим через длину наибольшего частичного отрезка разбиения: где

2) В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку и

3) составим сумму

Интегральная сумма равна площади ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, вписанных в криволинейную трапецию (рис. 36)

Рис. 36

Площадью криволинейной трапеции считают предел площадей ступенчатых фигур, получаемых при неограниченном увеличении n числа точек дробления отрезка и при условии, что

Таким образом, геометрически интеграл от непрерывной неотрицательной на отрезке функции есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями осью и графиком функции :

Определенный интеграл обладает рядом свойств, аналогичных свойствам неопределенного интеграла, другие справедливы только для него.

Основные свойства определенного интеграла

Будем считать, что функция непрерывна на .

1. Интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

2.

3. При перестановке местами пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный:

4. Интеграл по отрезку равен сумме интегралов по его частям, т.е. имеет место равенство: если

5. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

6. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых, т.е. (для двух функций):

7. Теорема о среднем. Если непрерывна на , то существует такое число что

8. Определенный интеграл зависит только от вида функции и пределов интегрирования, но не от переменной интегрирования, которую можно обозначить любой буквой:

Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы неудобно и трудоемко. Поэтому целесообразно указать более удобный и эффективный способ вычисления определенного интеграла. Основан он на связи неопределенного и определенного интеграла и выражается в формуле Ньютона-Лейбница.

3. Формула Ньютона – Лейбница и основные методы нахождения определенного интеграла

Теорема. Если есть первообразная для непрерывной на отрезке функции , то справедлива формула

т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной от верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Данное равенство называют формулой Ньютона-Лейбница.

Итак, задача вычисления определенного интеграла сводиться в первую очередь к задаче нахождения неопределенного интеграла, а, следовательно, основана на использовании свойств, таблиц и методов, приведенных для неопределенного интеграла.

Пример

а)

б)

в)

Тесная связь между определенным и неопределенным интегралом позволяет сделать вывод о том, что при вычислении определенного интеграла можно пользоваться теми же методами интегрирования. Но существуют и особенности при использовании этих методов для определенных интегралов.

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Пусть функции и имеют непрерывные производные на промежутке . Тогда, справедлива следующая формула:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример 8.10. Вычислить интеграл

Решение.

Метод замены переменной в определенном интеграле

Метод замены переменной в определенном интеграле основан на следующей теореме.

Теорема 8.6. Пусть непрерывна на отрезке и пусть

1) функция монотонна, непрерывна и имеет непрерывную производную, когда t меняется от до ;

2) и

тогда справедлива формула

Даная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Из формулы видно, что при замене переменной в определенном интеграле подынтегральное выражение преобразуется так же, как и в неопределенном, но при этом в отличие от неопределенного интеграла преобразуются и пределы интегрирования.

Замечание 1. В практике интегрирования применяются подстановки вида , т.е. новая переменная интегрирования вводится как некоторая функция переменной х, а новые пределы интегрирования определяются из формул: и

Замечание 2. При нахождении определенного интеграла методом замены переменной нет необходимости возвращаться к старой переменной.

Пример 8.11. Вычислить интеграл

Решение.

Лекция 8.4. Приложения определенного интеграла

План:

1. Понятие несобственного интеграла первого рода и его нахождение.

2. Понятие несобственного интеграла второго рода.

3. Приложения определенного интеграла.

Определяя понятие определенного интеграла, как предела интегральных сумм, предполагалось, что 1) отрезок интегрирования конечный; 2) подынтегральная функция непрерывна на этом отрезке. Если, хотя бы одно из условий не выполнено, то данное определение теряет смысл. Так, в случае бесконечного отрезка интегрирования, нельзя разбить отрезок на частей конечной длины, а в случае разрывной функции интегральная сумма не имеет конечного предела. Тогда и появляется понятие несобственного интеграла первого рода и несобственного интеграла второго рода.

Дата добавления: 2014-01-20