Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов

Если ряд сходится абсолютно, то сходится (также абсолютно) и ряд , полученный произвольной перестановкой членов исходного ряда.

Существенно отметить, что перестановке могут подвергаться бесконечное множество членов исходного ряда.

Докажем. Пусть сначала имеем знакоположительный ряд , т.е. для всех n, a_n> 0. Так как по нашему условию он сходится, то можно писать = S₀, S₀ – определенная величина. Рассмотрим k -ую частичную сумму ряда : . Очевидно, . Обозначим N= max (n₁,…,n_k). Тогда имеем очевидное неравенство: , ибо среди членов частичной суммы S_N есть и члены . Но S_N £ S₀ при любом N. Итак, при любом k имеем . Следовательно, частичные суммы ряда не только монотонно возрастают, но и ограничены сверху. Следовательно, последовательность имеет предел при k®¥, то есть ряд сходится. При этом для его суммы имеет место неравенство: . Далее, меняя (в рассуждениях) ряды и местами, можно доказать и неравенство: . Откуда получаем единственно возможное и непротиворечивое равенство: - суммы у рядови одинаковые.

Если ряд абсолютно сходится, то абсолютно сходится и ряд .

Для неабсолютно сходящихся рядов отметим два следующих свойства, которые следует иметь в виду при работе с такими рядами.

1. Можно показать, что если ряд сходится неабсолютно, то ряд, составленный из одних только положительных его членов P: и ряд, составленный из одних только отрицательных его членов Q: расходятся (не сходятся). Подчеркнем, что p_k есть положительное , а q_k есть , причем здесь само - отрицательное. Поясним кратко причину такого свойства условно сходящегося ряда.

Ибо если сходится ряд P и сходится ряд A: , то имеем: (), где - частичные суммы рядов A, P и Q cоответственно. Нам известно, что существуют пределы последовательностей и , следовательно существует и предел последовательности . Но тогда существует и предел суммы ,

т.е. сходится ряд , чего нет на самом деле. Следовательно, ряды из только положительных членов и из только отрицательных членов условно сходящегося ряда расходятся, несмотря на то, что и при .

2. На этом основании можно доказать второе вышеупомянутое свойство условно сходящихся рядов (теорему Римана): в условно сходящемся ряде можно так переставить члены, что его сумма будет равна любому наперед заданному числу B.

Например

Наметим путь доказательства теоремы: Задаем число B. Из ряда берем сначала только положительные члены в таком количестве, чтобы выполнилось неравенство: . Затем берем отрицательные члены ряда : (все q <0) в таком количестве, чтобы было неравенство в другую сторону: . Процесс прибавления новых положительных и новых отрицательных членов повторяем неограниченно. Уклонение получающихся сумм (фактически частичных сумм ряда с переставленными членами) от числа В не превосходит или , k – достаточно большое. Следовательно, с ростом k уклонение новых частичных сумм от числа В стремится к нулю, так что сумма нового ряда, составленного из членов ряда , будет равна В, что и требуется доказать в теореме Римана.

Дата добавления: 2014-01-11