Лекція 1. Математичні поняття

Институт культуры

Религия

функции:

-интегративная.

-норма­тивная

-коммуникативная

функции:

-духовного производства, состоящая в обеспечении необходимых предпосылок для духовного творчества, создания духовных ценностей.

-сохранение, тиражирование и трансляция создан­ных вновь или воспроизведенных ценностей.

-социо-регулятивная

-коммуникативная

Институты культуры тесно связаны с деятельностью других социальных институтов. От одних институтов они напрямую зависят (например, от ин­ститутов законодательной и исполнительной власти, ибо с ними жестко связаны финансовые возможности институтов культуры), с другими взаимодействуют на условиях координации (институты образования и науки). Связи институтов культуры с иными социальными институ­тами в последние годы становятся все более слабыми, невостре­бованными, каждый из них пытается выживать самостоятельно, думая лишь о собственных проблемах и не заботясь о взаимодей­ствиях, взаимообменах, взаимообогащении.

Мета:

Основні питання:

1. Вступ.

2. Об‘єм і зміст поняття.

3. Означення понять.

4. Вимоги до означення понять.

I. Вступ. Математика, як і інші науки, вивчає навколишнє середовище, природні та суспільні явища, але вивчає лише їх з особливого боку. Наприклад, в геометрії вивчають форму і розміри предметів, не враховуючи інші властивості: колір, масу і т.д. тому в геометрії замість слова «предмет» кажуть: «геометрична фігура». Відрізок, промінь, пряма, кут, коло, квадрат – геометричні фігури. Результатом абстрагування являються також найважливіші математичні поняття, як «число» і «величина». Взагалі будь-які математичні об‘єкти – це результат відокремлення з предметів і явищ навколишнього середовища кількісних і просторових властивостей і відношень і абстрагування їх від всіх інших властивостей. Як сказав Ф. Енгельс: «математика – це наука про кількісні форми і просторові уявлення реального світу». Математичні об‘єкти реально не існують, не існує в навколишньому світі геометричних фігур, чисел. Всі вони утворені людьми в процесі історичного розвитку суспільства і існує лише в розумінні людини і в тих знаках і символах, які утворюють математичну мову.

II. Об‘єм і зміст поняття. Будь – який математичний об‘єкт має певні властивості. Наприклад, квадрат має чотири сторони, чотири прямих кута, рівні діагоналі. Можна вказати і інші властивості квадрата. Серед властивостей об‘єкта розрізнюють властивості суттєві і несуттєві для його виділення з інших об‘єктів. Властивість вважають суттєвою для об‘єкта, якщо вона притаманна цьому об‘єкту і без нього він не може існувати. Несуттєвими властивостями вважають такі, відсутність яких не впливає на існування об‘єкта. Щоб розуміти, що представляє собою даний об‘єкт достатньо знати його суттєві властивості. В цьому випадку кажуть, що мають поняття про цей об‘єкт. Сукупність всіх взаємозв’язаних суттєвих властивостей об‘єкта називають змістом поняття про цей об‘єкт. Об‘єм поняття – це сукупність всіх об‘єктів, які позначені одним терміном. Таким чином, всяке поняття характеризується терміном, об‘ємом і змістом. Між об‘ємом поняття і його змістом існує зв‘язок: чим «більше» об‘єм поняття, тим «менше»його зміст, і навпаки. Наприклад, об‘єм поняття «прямокутний трикутник» «менше» об’єму поняття «трикутник», оскільки в об‘єм першого поняття входять не всі трикутники, а тільки прямокутні. Але зміст першого поняття «більше» змісту другого: прямокутний трикутник має не лише всі властивості трикутника, але і іншими, які притаманні тільки прямокутним трикутникам.

III. Означення понять. Зміст поняття о будь-яком математичному об‘єкті містить багато різних суттєвих властивостей цього об‘єкта. Але щоб встановити, чи міститься об‘єкт в об‘ємі даного поняття (тобто разпознати його), необхідно перевірити наявність у нього лише деяких суттєвих властивостей. Встановлення цих суттєвих властивостей об‘єкта, яких достатньо для распознавння об‘єкта, називається означенням поняття про цей об‘єкт. Взагалі, означення – це логічна операція, яка розкриває зміст поняття. Способи означення поняття є різні. Перед усім розрізняють явні і неявні означення. Явні поняття мають форму рівності, спів падіння двох понять, або ототожнюються два поняття. Одне з них називають визначним поняттям, друге – визначальним. Ч ерез визначальне розкривається зміст визначного поняття. Проаналізуємо, наприклад, структуру означення квадрата: «Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні». Вона є такою: спочатку вказане визначне поняття – «квадрат», а потім приведене визначальне, яке включає властивості: бути прямокутником, мати всі рівні сторони. Властивість «бути прямокутником» показує, що всі квадрати являються прямокутниками, тобто поняття прямокутник являється більш загальним, ніж поняття квадрат. Його називають родовим по відношенню до визначного поняття «квадрат». Друга властивість – «мати рівні сторони» - це виділення видової властивості, яка відокремлює квадрат від інших видів прямокутника. Схематично структуру таких означень можна представити наступним чином: МАЛЮНОК. Неявні означення не мають форми спів падіння двох понять. Прикладами таких означень являються так звані контекстуальні і остенсивні означення. В контекстуальних означеннях зміст нового поняття розкривається через уривок тексту, через контекст, через аналіз конкретної ситуації, яка описує зміст нового поняття. Прикладом такого означення може бути означення рівняння і його розв‘язок. Остенсивні означення використовують для введення термінів шляхом демонстрації об‘єктів, які цими термінами позначають. Тому остенсивні означення називають ще означеннями шляхом показу. Зустрічаються в математиці і означення, побудовані по іншому. Наприклад, означення трикутника: «Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок. Які не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з‘єднують ці точки». В цьому означенні вказане родове поняття по відношенню до трикутника – фігура, а потім вказаний спосіб побудови такої фігури, такі означення називають генетичними. Розглянемо означення арифметичної прогресії: «Арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, доданого з одним числом». Тут визначне поняття – «арифметична прогресія», родове поняття – «числова послідовність», а далі описується спосіб отримання всіх членів прогресії по заданій формулі. Таке означення називають індуктивним (рекурентним).

IV. Вимоги до означень. Щоб оцінити правильність явних означень, необхідно знати правила означення понять.1) Перш за все визначне і визначальне поняття повинні бути еквівалентні (сорозмірні). Це означає, що сукупність предметів, які є охоплені ними, мають співпадати. Наприклад, правильним є означення: «прямокутник – це чотирикутник, у якого всі кути прямі». Неправильним означенням є таке:»Прямі називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок або співпадають» (занадто широко, тому що йому задовольняють і мимобіжні прямі). Або невірним є: «прямі називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок» (занадто вузько, тому що йому не задовольняють прямі, які співпадають). 2) Друге правило означення забороняє порочний круг: не можна визначати поняття через само себе або визначати його через інше поняття, яке, в свою чергу, визначається через нього. Наприклад, множенням називається дія, за допомогою якої знаходять добуток цих чисел – неправильне означення. 3) В означенні мають бути вказані всі властивості, які дозволяють однозначно виділити об‘єкти, що належать об‘єму визначального поняття. Наприклад, «Суміжними кутами називаються кути, які в сумі складають » (недостатньо властивостей). 4) Ще одне правило до означення – відсутність в ньому збитку. Це позначає, що в означенні не повинно бути вказано зайвих властивостей, які випливають з інших властивостей, також включених в означення поняття. Наприклад, «прямокутником називається чотирикутник, у якого всі сторони рівні і всі кути прямі».це означення має зайву властивість, краще сказати так: «Прямокутником називається чотирикутник, у якого всі кути прямі». Треба сказати, що в будь-якому означенні є елемент довільності, що проявляється, по-перше, в виборі терміна, а по-друге, в виборі властивостей, які включаються в означення. Якщо одному поняття дається два різних означення, то вони повинні бути рівносильними. Це позначає, що з властивостей, що включені в одне означення, мають випливати властивості, покладені в основу другого означення, і навпаки. При виборі означення користуються тим, яке означення простіше, натуральніше або корисніше для подальшої побудови теорії.

Дата добавления: 2014-01-11