КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Функции двух переменных. Достаточный признак локального экстремума
Достаточный признак локального экстремума Теорема 3.8. Если функция в окрестности точки является непрерывной и имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, и частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т. е. , то: 1) если , ,
где , , ,
то является точкой минимума; 2) если , то является точкой максимума; 3) если , то не является точкой экстремума; 4) если , то данный признак не позволяет решить вопрос об экстремуме функции в этой точке (требуются дополнительные исследования). Д о к а з а т е л ь с т в о. Судить о поведении функции в некоторой окрестности точки будем по знаку величины приращения функции в этой точке. Если полное приращение функции для любой точки окрестности больше (меньше) нуля , то - точка минимума (максимума) (рис. 49). Согласно формуле Тейлора приращение функции равняется , где . По условию теоремы частные производные первого порядка в точке равны нулю, т. е. эта точка является стационарной. Поэтому . Тогда в первом приближении с учетом только одного первого отличного от нуля слагаемого в точке равно . Запишем более подробно дифференциал второго порядка . Данный дифференциал представляет собой квадратичную форму относительно дифференциалов независимых переменных . Его можно записать в виде . По критерию Сильвестра квадратичная форма является определенно положительной, если все ее главные миноры положительные, т. е. . В этом случае , т. е. выполняются условия локального минимума в точке Û
.
Если , то .
Тогда точка будет являться точкой локального максимума. Следовательно, для того, чтобы в точке был максимум дифференциал должен быть отрицательным . Согласно критерию Сильвестра данная квадратичная форма будет отрицательно определенной, если
. Если для квадратичной формы минор второго порядка , то квадратичная форма, а следовательно и приращение функции не являются знакоопределенными в окрестности точки и эта точка не является точкой локального экстремума. Если же , в точке равен нулю, то знак приращения будет определяться дифференциалом третьего порядка , который является более высокого порядка малости по сравнению с . Для решения вопроса об экстремуме функции в этом случае необходимы дальнейшие исследования. Пример 3.24. Исследовать на экстремум функцию . Находим критические точки. Для этого согласно необходимому признаку экстремума, находим частные производные первого порядка, приравниваем их нулю и решаем систему. Û Þ ÞÞ Имеется две критические точки и . Используем достаточный признак для исследования этих точек на экстремум. Находим , , . Для точки находим , , ; . Следовательно, не является точкой экстремума. Для точки находим , , ; . Так как , в точке имеет место минимум. Находим значение функции в этой точке . Ответ: в точке .
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 590; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |