![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Тригонометрический ряд ФурьеПокажем, что практически любую периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники, с помощью, так называемого, тригонометрического ряда. Определение. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида где действительные числа а 0, аn, bn называются коэффициентамиряда. Свободный член ряда записан в виде Нужно решить два вопроса: 1) При каких условиях функция f(x) с периодом 2π может быть разложена в ряд (5.2.1)? 2) Как вычислить коэффициенты а 0,… аn, bn? Начнем с решения второго вопроса. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке I. При любом целом II. При любом целом III. (m и n целые числа)
IV. V.
При
Анологично доказывается равенство (V). Предположим теперь, что функция
(Следует обратить внимание, что суммирование идёт по индексу n). Если ряд сходится, то его сумму обозначим S(x). Почленное интегрирование (законное в силу предположения о сходимости ряда) в пределах от так как все слагаемые кроме первого равны нулю (соотношения I, II). Отсюда находим
Умножая (5.2.2) на
Умножая (5.2.2) на
Значения Итак, получили разложение функции f(x) в ряд Фурье
Вернемся к первому вопросу и выясним какими свойствами должна обладать функция f(x), чтобы построенный ряд Фурье был сходящимся, и сумма ряда равнялась бы именно f(x). Определение. Функция f(x) называется кусочно-непрерывной, если она непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода. Определение. Функция f(x), заданная на отрезке Будем рассматривать функции f(x), имеющие период Т=2π. Такие функции называются 2π - периодическими. Сформулируем теорему, представляющую достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье. Теорема Дирихле (примем без доказательства). Если 2π -периодическая функция f(x) на отрезке 1. В точках непрерывности функции сумма ряда совпадает с самой функцией S(x)=f(x); 2. В каждой точке х0 разрыва функции f(x) сумма ряда равна т.е. среднему арифметическому пределов функции слева и справа от точки х0; 3. В точках т.е. среднему арифметическому предельных значений функции на концах отрезка, при стремлении аргумента к этим точкам изнутри промежутка. Замечание: если функция f(x) с периодом 2π непрерывна и дифференцируема во всем промежутке Таким образом, если интегрируемая на отрезке Коэффициенты вычисляются по формулам (5.2.3) - (5.2.5). Условиям Дирихле удовлетворяет большинство функций, которые встречаются в математике и ее приложениях. Ряды Фурье, как и степенные ряды, служат для приближенного вычисления значений функций. Если разложение функции f(x) в тригонометрический ряд имеет место, то всегда можно пользоваться приближенным равенством Тригонометрические ряды широко используют в электротехнике, с их помощью решают многие задачи математической физики. Пример. Разложить в ряд Фурье функцию
Решение. Найдем коэффициенты ряда Фурье: Получили разложение функции в ряд Фурье В точках непрерывности сумма ряда Фурье равна значению функции f(x)=S(x), в точке х=0 S(x)=1/2, в точках х=π,2π,… S(x)=1/2.
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 2646; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |