Комплексная форма ряда Фурье

Периодическая функция, интегрируемая на отрезке [-T/2; T/2], может быть разложена в ряд Фурье (1), (2):

,

где

Воспользуемся соотношениями, связывающими тригонометрические и экспоненциальные функции:

,

.

Тогда исходный ряд Фурье запишется в виде:

где

Конечное выражение для комплексной формы ряда Фурье примет вид:

. (5)

Сходимость данного ряда следует понимать, рассматривая сумму коэффициентов , которая должна стремиться к нулю при .

Коэффициенты разложения определяются по формуле:

(6)

Убедимся в справедливости этого:

Аналогично получим

Анализ формул показывает, что для действительной функции коэффициенты разложения в комплексный ряд Фурье образуют комплексно-сопряженные пары.

При разложении функции в ряд Фурье, а именно при выборе вида ряда (тригонометрического или экспоненциального), следует исходить из трудностей нахождения коэффициентов разложения, то есть вычисления интегралов:

; ; .

Например, при использовании ЭВМ, не обеспечивающей действий с комплексными числами, необходимо использовать разложение в ряд по тригонометрическим функциям.

Дата добавления: 2014-01-11