КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Основные понятия операционного исчисления. Преобразование Фурье и Лапласа
Прямое и обратное преобразования Фурье. Совокупность операций, позволяющих по заданной функции находить ей соответствующую спектральную характеристику , называется преобразованием Фурье и описывается следующим выражением: (1.3.1) Интеграл в правой части равенства (1.3.1) понимается в смысле главного значения, т.е. (1.3.2) Равенство (1.3.1) устанавливает связь между функцией , аргументом которой служит время t, и ей соответствующей комплексной функцией , имеющей в качестве аргумента частоту ω. Формула интеграла Фурье (1.3.3) позволяет по известной функции определить ей соответствующую функцию , и называется формулой обратного преобразования Фурье. Интеграл в правой части равенства (1.3.3) также следует рассматривать в смысле главного значения, т.е. (1.3.4) В ряде задач автоматического регулирования функция характеризует процесс, имеющий место лишь начиная с некоторого времени t, который можно принять за нулевой. В этом случае при и формула (1.3.1) принимает вид (1.3.5) Преобразование, определяемое формулой (1.3.5), называется прямым односторонним преобразованием Фурье. Обратное преобразование Фурье, соответствующее прямому одностороннему преобразованию, остается двусторонним по переменной ω и даётся равенством (1.3.6) где определяется формулой (1.3.5). Одностороннему преобразованию Фурье могут быть подвергнуты те функции , которые в любом интервале, заключенном в пределах , удовлетворяют условиям Дирихле, и интеграл существует. Прямое и обратное преобразование Лапласа. Рассмотрим функцию вещественной переменной t, при этом будем предполагать выполненными следующие условия: 1) Функция непрерывна для всех значений . Непрерывность может быть нарушена лишь в отдельных точках, являющихся точками разрыва непрерывности первого рода, причем число этих точек должно быть конечным на любом интервале ограниченной длины.
2) Функция для значений . 3) Функция имеет ограниченный порядок возрастания, т.е. можно указать такие постоянные числа и , при которых выполняется неравенство Число является показателем роста функции . Функция , удовлетворяющая условиям 1–3, называется оригиналом. Многие функции, встречающиеся при описании процессов в автоматических системах, являются оригиналами. Например, оригиналами будут функции ; ; ; (); ; () и ряд других функций. Наличие в этих функциях множителя — единичной ступенчатой функции — обеспечивает выполнение второго условия, т.е. обращение функции в ноль при . С физической точки зрения это условие является вполне естественным. Действительно, в автоматических системах обычно представляют интерес процессы, начинающиеся с некоторого момента времени. Например, если функция характеризует отклонение регулируемой величины, происходящее при приложении к системе в момент возмущающего воздействия, то очевидно, что при , так как реакция на возмущение не может возникнуть ранее момента времени приложения, к системе самого возмущения. Этот момент времени может быть принят за нулевой момент, т.е. можно полагать, что ; тогда при получим . Условие 2 поэтому, естественно, учитывает начальные условия, в которых находится автоматическая система. Как правило, условия 1 и 3 также выполняются для большинства функций , характеризующих процессы в автоматических системах. Если хотя бы одно из условий 1–3 не выполняется, то функция не будет являться оригиналом. Согласно условию 1 оригинал не может обращаться в бесконечность при , поэтому не является оригиналами функция , . Не является оригиналом также функция , поскольку для этой функции не выполнено условие 3: функция при возрастает быстрее, чем возрастает функция .
Функция комплексного переменного , определяемая равенством (1.3.7) называется изображением функции по Лапласу. Интеграл в правой части равенства (1.3.7) называется интегралом Лапласа. Этот несобственный интеграл по определению равен (1.3.8) причем означает правый предельный переход. С помощью интеграла Лапласа устанавливается соответствие между функцией и её изображением . Символически преобразование Лапласа записывается в виде (1.3.9) Интеграл Лапласа будет сходящимся, если существует предел в правой части равенства (1.3.8). Для перехода от изображения к ему соответствующему оригиналу необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа. Оригинал в точках непрерывности определяется равенством (1.3.10) где — изображение по Лапласу оригинала , а интеграл в правой части этого равенства понимается в смысле главного значения, т.е. (1.3.11) Формула (1.3.10) называется формулой обращения. С её помощью устанавливается связь между изображением и ему соответствующим оригиналом . Процесс получения оригинала по заданному изображению представляет собой обратное преобразование Лапласа. Символически обратное преобразование Лапласа записывают в виде (1.3.12) Условие учитывает то обстоятельство, что оригинал при . Наиболее часто встречающиеся оригиналы и соответствующие им приложения приведены в Приложении 1.
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 600; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |