Экстремумы функций нескольких переменных. Опр. 3.Пусть функция z=f(x;у) определена на множестве D и точка М(х;у)

Опр. 3. Пусть функция z=f (x; у) определена на множестве D и точка М (х; у) D. Если существует окрестность точки М, которая принадлежит множеству D, и для всех отличных от М точек М выполняется неравенство f (М)< f (М₀) (f (М)> f (М₀)), то точку М называют точкой локального максимума (минимума) функции z=f (x; у), а число f (М₀) – локальным максимумом (минимумом) этой функции. Точки максимума и минимума функции называют её точками экстремума.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если функция z=f (x; у) в точке М (х; у) имеет локальный экстремум, то в этой точке частные производные ,равны нулю или не существуют.

Опр. 4. Точки, в которых ==0, называются стационарными.

Опр. 5. Стационарные точки и точки, в которых частные производные не существуют, называются критическими.

Поэтому функция может достигать экстремальных значений только в критических точках; однако не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Пусть в стационарной точке М (х; у) и некоторой её окрестности функция z=f (x; у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Введём обозначения:

А= (х; у), В= (х; у), С= (х; у), ∆ = АС-В².

Теорема 2 (достаточные условия экстремума).

1. Если ∆ >0, то функция z=f (x; у) в точке М имеет экстремум, причём максимум при А <0 и минимум при А >0.

2. Если ∆ <0, то в точке М нет экстремума.

Для случая, когда количество переменных п >2, пользуются такой теоремой.

Теорема 3. Функция и = f (х;...; х) имеет минимум в стационарной точке М, если дифференциал второго порядка этой функции в точке М положителен d²f (М)>0, и максимум, если d²f (М)<0.

Раздел X. Интегральное исчисление функций нескольких переменных.

Дата добавления: 2014-01-13