Примеры с решениями. Пример 3.1. Тензор напряжений в точке Р в декартовых осях имеет компоненты

Пример 3.1. Тензор напряжений в точке Р в декартовых осях имеет компоненты . Определить главные напряжения и главные оси тензора напряжений, с которыми будет связана система осей координат . Показать, что тензор преобразований состоящий из направляющих косинусов приводит первоначальный тензор напряжений к диагональному виду, т.е. оси являются главными.

Решение. Главные напряжения определяются по формуле (I - единичная матрица)

.

Вычислим определитель и получим уравнение для главных напряжений . Откуда , , , или , , ().

Запишем систему уравнений для каждого из главных напряжений. Пусть ось совпадает с осью напряжения s _I, и пусть - направляющие косинусы этой оси. Тогда имеем систему

Þ

Получим .

Пусть ось совпадает с осью напряжения s _II. Получим

Þ

откуда .

Проверим условие ортогональности

.

Т.к. условие ортогональности выполняется возможны следующие варианты

и ,

или и ,

или и ,

или и .

Аналогично находим третье направление. Пусть ось совпадает с осью напряжения s _III, и пусть - направляющие косинусы этой оси. В этом случае система имеет вид:

Для нахождения направляющих косинусов третьей оси можно воспользоваться тем, что главные направления попарно ортогональны и найти , как . Тогда

или

.

Покажем, что тензор преобразований, состоящий из направляющих косинусов приводит первоначальный тензор напряжений к диагональному виду. Используя формулу , где

получим:

.

Что и требовалось показать.

Пример 3.2. В пространстве главных напряжений определить касательное и нормальное напряжения для тензора .

Решение. Главные значения тензора имеют вид , , . Т.к. тензор записан в главных осях, то главные направления равны , и . Применяя формулы (3.9) и (3.10), получим

, , ,

, ,

.

Полученное решение можно подтвердить используя метод Лагранжа. Т.к. и , то функция Лагранжа примет вид и . Тогда

,

.

Полученное уравнение эквивалентно уравнению для поиска главных направлений. Отсюда видно, что т.е значения нормального напряжения совпадают с главными напряжениями.

Ответ: , , , .

Пример 3.3. Используя соотношение и закон преобразования напряжений , показать, что произведение является инвариантом.

Решение. Раскрывая определитель получим

=

.

С учетом симметрии тензора имеем

Пример 3.4. Доказать, что инвариант тензора напряжений.

Решение. По правилу преобразования компонент тензора , покажем, что величина не меняется при смене системы координат

Задания для самостоятельного решения по теме

«Главные напряжения. Круги Мора»

Дата добавления: 2014-11-06