Примеры с решениями. Пример 4.1. Разложить тензор напряжений на шаровую часть и девиатор

Пример 4.1. Разложить тензор напряжений на шаровую часть и девиатор.

Решение. Вычислим среднее значение нормального напряжения , следовательно, шаровой тензор имеет вид .

Тензор девиатора напряжений найдем по формуле

.

Пример 4.2. Составить характеристическое уравнение для девиатора напряжений и определить его инварианты, если компоненты тензора напряжений имеют вид .

Решение. Вычислим среднее значение нормального напряжения , тензор девиатора напряжений найдем по формуле

.

Для составления характеристического уравнения запишем и раскроем определитель:

.

Получили уравнение или . Проводя аналогию с характеристическим уравнением общего вида , получаем, что второй инвариант , третий инвариант , первый инвариант девиатора всегда равен нулю.

Пример 4.3. Показать, что девиатор напряжений эквивалентен суперпозиции пяти состояний простого сдвига.

Решение. Используем для девиатора напряжений следующее разложение

в данном разложении использовалось свойство первого инварианта девиатора напряжений Þ . Покажем, что два последних тензора эквивалентны состоянию простого сдвига. Т.к. , тогда , , .

Пример 4.4. Показать, что разложить тензор напряжений на шаровую часть и девиатор можно только единственным образом.

Решение. Предположим, что существуют два разложения , для которых и . Тогда и, следовательно, , а из условия следует, что .

Задания для самостоятельного решения по теме

«Плоское напряженное состояние. Разложение тензора напряжений на шаровую часть и девиатор»

Дата добавления: 2014-11-06