Співвідношення механіки суцільного середовища

Поняття про механіку суцільного середовища

Основні положення статистичної геомеханіки при визначенні стійкості виробок, укосів і бортів кар'єру

Основу механіки суцільного середовища становлять подання про матеріальні тіла як «про деяку субстанцію, що безупинно заповнює обсяг геометричного простору» і наділеного певними фізичними властивостями, що відбивають статистичні закономірності для реальних фізичних середовищ.

Уведене припущення про сплошности середовища дозволяє наділяти нескінченно малі обсяги тіл властивостями середовища й ефективно використати аналітичний апарат диференціального й інтегрального вирахування. Зокрема, напруги й переміщення окремих крапок середовища, можливо, представляти у вигляді деяких функцій координат і часу, похідних (безперервних і дифференцируемых), які забезпечили б потребуючу точність рішення завдання.

У механіки суцільних середовищ різні дві категорії сил: зовнішні й внутрішні.

Зовнішні сили – поверхневі й об'ємні. Поверхневі, наприклад тиск, прикладений до поверхні тіла й конкретна взаємодія, що характеризує, його з ін. тілами. Об'ємні (масові) прикладені до внутрішніх частин тіла - сили ваги, сили інерції й ін.

Внутрішні сили – це сили зв'язку між окремими частками речовини. Внутрішні сили під впливом зовнішніх змінюються, одержують збільшення, які і є основним предметом вивчення механіки деформації тел.

Зовнішні й внутрішні сили характеризуються інтенсивністю, що називається напругою.

Напруга й деформації елементарного обсягу є функціями координат, тобто трьома складовими напруг (; ; ) обумовлених дев'ятьма компонентами.

Деформація (повна e) подібно напрузі може бути також представлена у вигляді трьох взаємно перпендикулярних складових. Одна з них спричиняється лінійні деформації тіла Ɛ (подовження або вкорочення), а дві інші перпендикулярні до неї й відповідають сдвиговим деформаціям γ.

Тобто деформування будь-якого обсягу можна охарактеризувати деформаціями трьох взаємно перпендикулярних відрізків. Тому деформований стан якого-небудь обсягу могло бути однозначно визначено дев'ятьма компонентами.

Дев'ять компонентів напруг і деформацій становлять тензори напруг і деформацій у даній крапці.

; (1)

Якщо скласти рівняння моментів всіх сил щодо кожної з осей Ох, О_y, O_z виділеного деформуючого обсягу й прирівняти їх до нуля, то легко можна вивести:

; ; ;

; ; (2)

Тому число необхідних величин для певного напружено-деформаційного стану в крапці скорочується до шести.

Умова рівноваги будь-якої внутрішньої крапки деформованого тіла можна записати у вигляді:

(3)

де – проекції масових сил на осі Ох, О_y, O_z.

Для крапок поверхні розглянутого тіла керування рівноваги має вигляд:

(4)

де – проекції зовнішніх сил на нормаль до поверхні деформованого тіла;

– напрямного косинуса нормалі.

Останнє рівняння характеризує зв'язок між зовнішніми силами, що діють на поверхні тіла, і компонентами напруг, що діють усередині тіла в поверхні.

Однак, щоб сплошность середовища й після деформування не змінювалася, співвідношення компонентів деформацій повинне задовольняти умовам нерозривності деформацій.

Пружна модель ґрунтується на прямій пропорційно між напругою й деформаціями (Законі Гука). Зв'язок компонентів напруги й компонентів деформацій має вигляд:

(5)

де – модуль пружності;

– модуль зрушення;

– коефіцієнт Пуассона або поперечної деформації.

Плоский напружений стан ( характерно для тонких шарів, навантажених по контурі силами, паралельними їхньої площини).

;

Тензор напруг має вигляд:

Тензор деформацій містить компоненту лінійної деформації , вона визначається рівнянням (відповідно до вираження (5)):

Наприклад, якщо по контурі вертикального стовбура в масиві порід виділити тонкий шар перпендикулярний до осі стовбура, то він буде перебувати в гравітаційному полі сил і напружений стан порід у цьому шарі можна думати плоским.

Умова плоскої деформації (виникає у випадку, коли переміщення крапок деформованого об'єкта відбуваються тільки в одній площині).

Тензор деформацій може бути записаний:

Т. к.

те

тоді для умов плоскої деформації тензор напруг визначиться вираженням

У гравітаційному полі сил в умови плоскої деформації перебувають породи навколо перетину горизонтального гірського виробки.

При наявності пружної-пластичної моделі до загальних 9 рівнянням необхідно додати шість фізичних рівнянь

де

.

Залежність м. і виражається рівнянням

Вид функції встановлюється по випробуваннях порід при одноосьовому стисненні-розтяганні.

Дата добавления: 2014-10-22