КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Общее уравнение плоскости, проходящей через точкуЕще раз повторим, что точка принадлежит плоскости, которая задана в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве общим уравнением плоскости , если при подстановке координат точки в уравнение оно обращается в тождество. Пример. Принадлежат ли точки и плоскости, общее уравнение которой имеет вид . Решение. Подставим координаты точки М0 в общее уравнение плоскости: . В результате приходим к верному равенству, следовательно, точка лежит в плоскости. Проделаем такую же процедуру с координатами точки N0: . Получаем неверное равенство, поэтому, точка не лежит в плоскости, определенной общим уравнением плоскости . Ответ. М0 лежит в плоскости, а N0 – не лежит. Из доказательства теоремы об общем уравнении плоскости виден один полезный факт: вектор является нормальным вектором плоскости . Таким образом, если мы знаем вид общего уравнения плоскости, то мы сразу можем записать координаты нормального вектора этой плоскости. Пример. Плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz задана общим уравнением плоскости . Запишите координаты всех нормальных векторов этой плоскости. Решение. Нам известно, что коэффициенты при переменных x, y и z в общем уравнении плоскости являются соответствующими координатами нормального вектора этой плоскости. Следовательно, нормальный вектор заданной плоскости имеет координаты . Множество всех нормальных векторов можно задать как . Ответ. Теперь рассмотрим обратную задачу – задачу составления уравнения плоскости, когда известны координаты ее нормального вектора. Очевидно, что существует бесконечно много параллельных плоскостей, нормальным вектором которых является вектор . Поэтому, зададим дополнительное условие, чтобы обозначить одну конкретную плоскость. Будем считать, что точка принадлежит плоскости. Таким образом, задав нормальный вектор и точку плоскости , мы зафиксировали плоскость. Получим общее уравнение этой плоскости. Общее уравнение плоскости с нормальным вектором имеет вид . Так как точка лежит на плоскости, то ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, следовательно, справедливо равенство . Вычтем из левой и правой части равенства левую и правую части равенства соответственно. При этом получаем уравнение вида , которое является общим уравнением плоскости, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор плоскости . Это уравнение можно было получить и иначе. Очевидно, что множество точек трехмерного пространства определяют требуемую плоскость тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны. То есть, тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: . Пример. Напишите уравнение плоскости, если в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве она проходит через точку , а - нормальный вектор этой плоскости. Решение. Приведем два решения этой задачи. Из условия имеем . Подставляем эти данные в общее уравнение плоскости, проходящей через точку : Теперь второй вариант решения. Пусть - текущая точка плоскости. Находим координаты вектора по координатам точек начала и конца: . Для получения требуемого общего уравнения плоскости осталось только воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и : Ответ.
Дата добавления: 2014-10-31; Просмотров: 908; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |