КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Правило КрамераРешение системы линейных уравнений матричным методом Еще один, пользующийся большой популярностью метод. Этот способ или, как его еще называют, метод обратной матрицы называется так потому, что все решение сводится к простому матричному уравнению, для решения которого необходимо найти обратную матрицу. Для того, что бы расставить все точки над и, рассмотрим метод под микроскопом. Алгоритм решения достаточно просто. Как и в методах Гаусса и Крамера первоначально надо проверить, имеет ли система уравнений решение по теореме Кронекера-Копелли. Затем для решения матричным методом необходимо ввести в рассмотрение матрицы-столбцы для неизвестных X и свободных членов B. Тогда систему линейных уравнений можно записать в матричной форме AX=B. Умножив это матричное уравнение на A-1, получим A-1AX= A-1B, откуда EX=X=A-1B. Следовательно, матрица-решение X легко находится как произведение A-1 и B. Для большей ясности решим небольшой пример методом обратной матрицы: 21x1-45x2-3.5x3=10 12x1-16x2+21x3=-16 14x1+13x2-8x3=10 Определим совместность системы уравнений. По теореме Кронекера-Копелли для того, что бы система линейных алгебраических уравнений была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы
и ранг расширенной матрицы
были равны. Для решения методом обратной матрицы необходимо ввести матричные обозначения
Для нахождения матрицы X умножим обратную матрицу А-1 на матрицу С
Получили решение системы уравнений X1=0.227
Рассмотрим систему (2.3). Назовем главным определителем этой системы определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных: .
Предположим сначала, что Умножим каждое уравнение системы (2.3) на алгебраические дополнения элементов j-го столбца Сложив затем все уравнения, получим: . (2.5) Отметим, что . (j-й столбец) (Результат получен из разложения определителя по j-му столбцу). Такой определитель равен 0 при и равен при i = j. Правая часть равенства (2.5) представляет собой определитель , в котором вместо j-го столбца стоит столбец свободных членов системы (2.3). Назовем такой определитель . Рассматривая j = 1,2 ,…,n, получим систему, эквивалентную исходной: (2.6). Разделив все уравнения на , найдем единственное решение: . Предположим теперь, что =0. Тогда система (2.6) примет вид: . В этом случае, если все =0, система выглядит так: и имеет бесконечно много решений. Если же хотя бы один из система решений не имеет. Таким образом, правило Крамера позволяет найти единственное решение системы (2.3) или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии:
Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 422; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |