Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Пример 2. Даны комплексные числа z ₁ = 2 + 3 i, z ₂ = 5 – 7 i. Найти:

а) z ₁ + z ₂; б) z ₁ – z ₂; в) z ₁ z ₂.

Решение.

а) z ₁ + z ₂ = (2 + 3 i) + (5 – 7 i) = 2 + 3 i + 5 – 7 i = (2 + 5) + (3 i – 7 i) = 7 – 4 i;
б) z ₁ – z ₂ = (2 + 3 i) – (5 – 7 i) = 2 + 3 i – 5 + 7 i = (2 – 5) + (3 i + 7 i) = – 3 + 10 i;
в) z ₁ z ₂ = (2 + 3 i)(5 – 7 i) = 10 – 17 i + 15 i – 21 i ² = 10 – 14 i + 15 i + 21 = (10 + 21) + (– 14 i + 15 i) = 31 + i
(здесь учтено, что i ² = – 1).

Пример 3. Выполнить деление:

Решение.

а) Имеем

Произведем умножение для делимого и делителя в отдельности:

(2 + 3 i)(5 + 7 i) = 10 + 14 i + 15 i + 21 i ² = – 11 + 29 i;
(5 – 7 i)(5 + 7 i) = 25 – 49 i ² = 25 + 49 = 74.

Итак,

Пример 4. Решите уравнение:

x ² – 6 x + 13 = 0

Решение. а) Найдем дискриминант по формуле

D = b ² – 4 ac.

Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то

D = (– 6)2 – 4*1*13 = 36 – 52 = – 16;

Корни уравнения находим по формулам

Текст задания

1–7. Вычислите:

1. i ⁶⁶; i ¹⁴³; i ²¹⁶; i ¹³⁷.
2. i ⁴³ + i ⁴⁸ + i ⁴⁴ + i ⁴⁵.
3. (i ³⁶ + i ¹⁷) i ²³.
4. (i ¹³³ + i ¹¹⁵ + i ²⁰⁰ + i ¹⁴²)(i ¹⁷ + i ³⁶).
5. i ¹⁴⁵ + i ¹⁴⁷ + i ²⁶⁴ + i ³⁴⁵ + i ¹¹⁷.
6. (i ¹³ + i ¹⁴ + i ¹⁵) i ³².
7. (i ⁶⁴ + i ¹⁷ + i ¹³ + i ⁸²)(i ⁷² – i ³⁴).

8–13. Найдите значения x и y из равенств:

8. 7 x + 5 i = 1 – 10 iy.
9. (2 x + y) – i = 5 + (y – x) i.
10. x + (3 x – y) i = 2 – i.
11. (1 + 2 i) x + (3 – 5 i) y = 1 – 3 i.
12. (2 – i) x + (1 + i) y = 5 – i.
13. (3 i – 1) x + (2 – 3 i) y = 2 – 3 i.

14–21. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:

14. (3 + 5 i) + (7 – 2 i).
15. (6 + 2 i) + (5 + 3 i).
16. (– 2 + 3 i) + (7 – 2 i).
17. (5 – 4 i) + (6 + 2 i).
18. (3 – 2 i) + (5 + i).
19. (4 + 2 i) + (– 3 + 2 i).
20. (– 5 + 2 i) + (5 + 2 i).
21. (– 3 – 5 i) + (7 – 2 i).

22–29. Произведите умножение комплексных чисел:

22. (2 + 3 i)(5 – 7 i).
23. (6 + 4 i)(5 + 2 i).
24. (3 – 2 i)(7 – i).
25. (– 2 + 3 i)(3 + 5 i).
26. (1 – i)(1 + i).
27. (3 + 2 i)(1 + i).
28. (6 + 4 i)*3 i.
29. (2 – 3i)(– 5i).

30–37. Выполните действия:

30. (3 + 5 i)².
31. (2 – 7 i)².
32. (6 + i)².
33. (1 – 5 i)².
34. (3 + 2 i)³.
35. (3 – 2 i)³.
36. (4 + 2 i)³.
37. (5 – i)³.

38–43. Выполните действия:

38. (3 + 2 i)(3 – 2 i).
39. (5 + i)(5 – i).
40. (1 – 3 i)(1 + 3 i).
41. (7 – 6 i)(7 + 6 i).
42. (a + bi)(a – bi).
43. (m – ni)(m + ni).

44–55. Выполните деление:

56–60. Выполните действия:

61 - 64. Решите уравнения:

61. x ² – 4 x + 13 = 0.
62. x ² + 3 x + 4 = 0.
63. 2,5 x ² + x + 1 = 0.
64. 4 x ² – 20 x + 26 = 0.

Практическая работа № 4

Тема: Корни и степени

Цель работы: закрепить знания и умения студентов по освоению применения формул при выполнении вычислений и решении иррациональных уравнений.

Теоритическое обоснование:

Дата добавления: 2014-12-16