Повний факторний експеримент

Під математичним описом хіміко-технологічного процесу слід розуміти систему рівнянь, яка пов’язує функцію відгуку з впливаючими факторами. У найпростішому випадку це може бути одне рівняння. Даний математичний опис називають математичної моделлю хіміко-технологічного процесу.

За допомогою математичних методів моделювання досліду можливо одержати математичну модель хіміко-технологічного процесу навіть при відсутності інформації про механізм його перебігу.

Переваги метода повного факторного експерименту:

· дає якісну і кількісну інформацію про вплив кожного з факторів на перебіг технологічного процесу;

· дозволяє розрахувати значення функції відгуку при заданому режимі проведення технологічного процесу;

· математичне рівняння використовують для подальшої оптимізації технологічного процесу.

Як недолік методу слід зауважити на неможливість використання якісних впливаючих факторів.

Математичні моделі хіміко-технологічних процесів, які одержують за допомогою повного факторного експерименту називають математично-статичними.

Метод повного факторного експерименту дає можливість здійснити математичний опис хіміко-технологічного процесу в області факторного простору навколо обраного центру плану (точка з координатами х₀₁, х₀₂, …, х_0n, де n – число впливаючих факторів і=1,n). Для цього початок координат факторного простору переносять в дану точку та вводять нові змінні величини:

(7.4.1)

де D х_і – обраний масштаб по відповідній осі; х_{о і} – координата центру плану; х_і – значення і -фактору.

Величини Х_і не мають розмірності і називаються кодованими змінними.

Загальне число дослідів N, необхідних для проведення факторного експерименту визначається за формулою:

N=2ⁿ (7.4.2)

де n – число впливаючих факторів.

Рис.7.4.1.Вибір кодованих змінних

Усі фактори під час експерименту комбінуються на двох рівнях: –1 та +1. Перед виконанням дослідів складають матрицю планування, яка містить повний набір можливих комбінацій рівнів варіювання факторів (тому метод має назву – повний факторний експеримент). Наприклад, для проведення повного двофакторного досліду необхідно і достатньо виконати чотири досліди (таблиця 7.4.1).

Таблиця 7.4.1.Повний факторний дослід.

номер досліду	фактори	функція відгуку
Х1	Х2
	–1	–1	Y1
	+1	–1	Y2
	–1	+1	Y3
	+1	+1	Y4

Основні принципи побудови матриці планування:

1. рівні варіювання першого фактору послідовно змінюються від досліду до досліду;

2. частота зміни рівнів варіювання кожного наступного фактора вдвоє менша за попереднього.

За допомогою повного факторного досліду шукають математичний опис хіміко-технологічного процесу у вигляді рівняння регресії:

Рис.7.4.2. Досліди повного двофакторного експерименту

y=b₀+b₁X₁+b₂X₂+...+b_nX_n+b₁₂X₁X₂+...+b_(n-1)nX_n-1X_n (7.4.3)

До його складу входять вільний член b_o, члени у вигляді добутків коефіцієнтів регресії b_і на Х_і та члени, які містять парні добутки кодованих змінних. Таким чином ми одержуємо неповне квадратичне рівняння.

На основі результатів повного факторного експерименту розраховують коефіцієнти регресії за формулами:

(l¹m) (7.4.4)

де і – номер фактору; j – номер досліду.

Деякі з коефіцієнтів регресії можуть бути незначимими. Для того, щоб визначити значимість коефіцієнтів, необхідно попередньо розрахувати оцінку дисперсії, з якою вони визначаються:

(7.4.5)

де S²_b – оцінка дисперсії визначення коефіцієнтів регресії; S²_y – середня оцінка дисперсії відтворюваності дослідів; N – число дослідів повного факторного експерименту.

Вважається, що коефіцієнт є значимим, якщо виконується вимога:

(7.4.6)

де t – значення критерію Стюдента (табличне значення).

Слід зауважити, що за результатами повного факторного досліду всі коефіцієнти визначаються з однаковою похибкою. Якщо перевірка показала, що коефіцієнт регресії незначний, то відповідний член виключають з рівняння регресії.

Одержане рівняння регресії необхідно перевірити на адекватність – здатність добре описувати досліджувану поверхню відгуку та прогнозувати результати дослідів. Для перевірки адекватності рівняння регресії розраховують значення оцінки дисперсії адекватності за формулою:

(7.4.7)

де В – число значимих коефіцієнтів регресії; Y_ej, Y_pj – експериментальні та розрахункові значення функції відгуку в j -ому досліді; N – загальна кількість дослідів.

Знаходимо розрахункове значення критерію Фішера:

(7.4.8)

Рівняння вважається адекватним, якщо виконується вимога: F_p £ F (де F – критичне значення критерію Фішера). Критичне значення критерію Фішера залежить від числа ступенів вільності системи, яке розраховується як N – В.

Задача. Дати математичний опис хіміко-технологічного процесу А ® В. Вихід кінцевого продукту В (%) позначимо як Y (функція відгуку). На перебіг процесу впливають фактори: температура реакційної суміші в апараті - Х_і (^оС), тиск - Х₂ (атм). Базисні рівні впливаючих факторів: х_о1 =500, х_о2 =300. Інтервали варіювання на відповідних рівнях:

Х₁ = (х₁-500)/20, Х₂ = (х₂-300)/10.

Вимоги проведення дослідів, матриця планування, результати серій паралельних дослідів наведені в таблиці 7.4.2.

Таблиця 7.4.2.Матриця планування та результати повного факторного досліду

паралельні досліди
N	Х1	Х2	паралельні досліди	Y*j	Sj^2
Yj1	Yj2	Yj3
	–1	–1	27,6	28,2	27,5	27,77	0,143
	+1	–1	52,7	53,2	52,6	52,7	0,210
	–1	+1	17,3	17,6	17,4	17,43	0,023
	+1	+1	64,2	63,9	63,9	64,0	0,030

1) Розраховуємо середні значення функції відгуку серій паралельних дослід

Y*₁ = (27,6+28,2+27,5)/3 = 27,77

Аналогічно розраховуємо Y*₂, Y*₃, Y*₄.

2) Визначаємо оцінку дисперсії відтворюваності серій паралельних дослідів:

S₁² = (0,17² + 0,43² + 0,27²)/2 = 0,143

Аналогічно розраховуємо S₂², S₃², S₄².

3) Знаходимо критерій Кохрена:

G_p = 0,21/0,406 = 0,5172

Граничне значення критерію Кохрена (G) для f=2 та N=4 складає G=0,768. Досліди відтворювані, так як виконується вимога G_p £ G

4) Розраховуємо коефіцієнти регресії:

b₀ = (27,77+52,7+17,43+64,0)/4 = 40,475

b₁ = (–27,77+52,7–17,43+64,0)/4 = 17,875

b₂ = (–27,77–52,7+17,43+64,0)/4 = 0,2417

b₁₂ =(27,77–52,7–17,43+64,0)/4 = 5,41

5) Перевіряємо значимість коефіцієнтів:

S_y² = åS_j²/N = 0,1015 S_b² = S_y²/N = 0,0254

Критерій Стюдента дорівнює: t=4,3 (для f=2). S_b*t = 0,685

Коефіцієнти вважаються значимими, якщо виконується вимога |b|>0,685. Як бачимо коефіцієнт є незначимим (фактор, при якому він стоїть не впливає на перебіг процесу) і його виключаємо із рівняння регресії

6) Запишемо рівняння регресії, що описує хіміко-технологічний процес:

Y = 40,475 + 17,875Х₁ + 5,41Х₁Х₂

7) Знаходимо за допомогою одержаного рівняння розрахункові значення функції відгуку:

Y_р1 = 40,475 + 17,875*(-1) + 5,41*(-1)*(-1) = 28,01

Y_р2 =40,475 + 17,875*(+1) + 5,41*(+1)*(-1) = 52,94

Y_р3 =40,475 + 17,875*(-1) + 5,41*(-1)*(+1) = 17,19

Y_р4 =40,475 + 17,875*(+1) + 5,41*(+1)*(+1) = 63,76

8) Підставляючи необхідні значення впливаючих факторів (температури та тиску) в рівняння регресії можливо розрахувати необхідні значення функції відгуку (концентрації кінцевого продукту В) в любій точці факторного простору.

Дата добавления: 2014-11-29