Условные распределения

Вычисление основных числовых характеристик

случайных величин Х и Y.

Основные числовые характеристики случайных величин Х и Y, являющихся компонентами двумерной случайной величины вычисляют по формулам, данным для одномерных случайных величин. Сделаем сводку этих формул.

Если двумерная случайная величина дискретного типа, и она задана таблицей совместного распределения Х и Y:

Y \ Х			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

Тогда имеем:

Если двумерная случайная величина непрерывного типа, и она задана плотностью f(x,y) совместного распределения вероятностей Х и Y, тогда имеем:

Как известно, вероятность совместного появления дискретных случайных величин , можно выразить в виде:

р( , ) = р( )р( / ),

где р( / ) – условная вероятность.

Определение: Условным распределением компоненты Х при Y = называют совокупность условных вероятностей р( / ), р( / ), …, р( / ), вычисленных в предположении, что событие Y = (j имеет одно и то же значение при всех значениях Х) уже наступило.

Аналогично определяется условное распределение компоненты Y.

Определение: Условной плотностью распределения вероятностей компоненты Х при данном значении называется отношение плотности совместного распределения вероятностей двумерной случайной величины к плотности совместного распределения вероятностей компоненты :

или

Заметим, что отличие условной плотности от безусловной плотности состоит в том, что функция даёт распределение при условии, что компонента приняла значение . Функция же даёт распределение независимо от того, какие из возможных значений приняла компонента .

Аналогично определяется условная плотность компоненты при данном значении :

или

Свойства и аналогичны свойствам функции плотности.

Определение: Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины при (x – определённое возможное значение X), называют сумму произведений возможных значений на их условные вероятности:

Определение: Условным математическим ожиданием непрерывной случайной величины при (x – определённое возможное значение X), называют несобственный интеграл от произведения на условная плотность при :

Определение: Условное математическое ожидание (краткое обозначение ) есть функция от :

,

которую называют функцией регрессии на .

Аналогично определяются у словное математическое ожидание случайной величины и функция регрессии :

.

Задавая различные значения , можно построить кривую регрессии .

Дата добавления: 2014-12-27