Алгебраическая проблема собственных значений

Обращение матриц

Отыскание матрицы, обратной заданной матрице A, основывается на тождестве

, (5.51)

где - единичная матрица. Это матричное равенство можно рассматривать как n СЛАУ относительно n неизвестных векторов, являющихся столбцами матрицы . Таким образом, задача обращения матрицы эквивалентна задаче решения n СЛАУ с одной и той же матрицей, но с разными правыми частями.

6.1. Постановка задачи

Рассматривается матричное (векторное) уравнение

,(6.1)

для которого ищется решение - ненулевой вектор и значение параметра ,.при котором это решение существует. Такое значение называется собственным значением матрицы , а вектор - ее собственным вектором.

После записи уравнения (1) в виде

, (6.2)

где матрица называется характеристической матрицей, легко видеть, что ненулевое решение существует, если

(6.3)

Уравнение (3) относительно искомого параметра называется характеристическим уравнением и после раскрытия определителя приобретает вид алгебраического уравнения n-й степени, которое:

, (6.4)

которое имеет n корней, собственных значений, . Многочлен называется характеристическим многочленом. Подставив каждое из собственных значений в матричное уравнение (2) и решив его, можно найти собственные вектора ,.

Если ищутся все n собственных значений и векторов, то говорят о полной проблеме собственных значений, если же интересуются только некоторыми собственными значениями, то это - частичная проблема собственных значений.

Все методы решения проблемы собственных значений можно разделить на две группы:

1) методы, непосредственно решающие нелинейное уравнение (3) или (4);

2) методы, преобразующие задачу определения собственных значений матрицы в задачу определения собственных значений матрицы специального вида, например, треугольной или диагональной.

Дата добавления: 2014-12-27