Основные понятия. 1. Понятие дифференциального уравнения

План:

1. Понятие дифференциального уравнения.

2. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка.

3. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

4. Приложение дифференциальных уравнений.

1. Понятие дифференциального уравнения

При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто используют математические модели в виде уравнений, связывающих основные параметры изучаемого процесса. И поскольку скорость изменения величин можно рассматривать как производную некоторой функции, то ряд уравнений содержат и искомую функцию, и производную этой функции.

Так, зависимость массы m вещества, вступившего в химическую реакцию, от времени t описывается уравнением: или , где k – коэффициент пропорциональности. "Закон размножения бактерий" (зависимость массы бактерий m от времени t) также описывается уравнением: или , где k> 0.

Закон радиоактивного распада вещества (), закон изменения температуры тела в зависимости от времени (), закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над уровнем моря () – все это примеры использования подобных уравнений в практике. Уже приведенные примеры указывают на их исключительную роль при решении разнообразных задач.

Особенностью рассмотренных выше уравнений является то, что неизвестной оказывается не одно число или пара чисел, а функция. Причем неизвестная функция находится под знаком производной. Уравнения, содержащие производные или дифференциал искомой функции называют дифференциальными уравнениями.

Например, уравнения , , , являются дифференциальными уравнениями.

Наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение, называют порядком дифференциального уравнения.

Так, , , - дифференциальные уравнения первого порядка, - дифференциальное уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество.

Пример 38.1. Докажите, что функция является решением дифференциального уравнения .

Решение. Найдем производную функции : . Подставим известное у и найденное в дифференциальное уравнение :

.

Получили, что - верное равенство, следовательно, функция является решением дифференциального уравнения .

Любое дифференциальное уравнение имеет не одно, а множество решений, отличающихся друг от друга на константу С. Такое множество решений получило название общего решения дифференциального уравнения. Геометрически его можно изобразить в виде семейства интегральных кривых.

При решении задач часто необходимо из всей совокупности решений дифференциального уравнения выделить одно, отвечающее конкретным требованиям. Для этого задают начальные условия: при . Геометрически это означает, что нужно выделить отдельную интегральную кривую, проходящую через точку .

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условию , называется задачей Коши, а полученное решение называется частным решением дифференциального уравнения.

1. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Рассмотрим дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнения вида назовём простейшими диф. уравнениями первого порядка.

Например, уравнения , - простейшие дифференциальные уравнения первого порядка. Обращаем внимание, что в левой части уравнения находится только , а в правой – выражение, содержащее только переменную х.

Для решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка достаточно взять интеграл от правой и левой части по переменной х: .

Пример 38.2. Найдите решение дифференциального уравнения .

Решение. Поскольку перед нами простейшее дифференциальное уравнение первого порядка, найдем его решение по формуле :

;

у = - общее решение дифференциального уравнения .

Ответ: у = .

Пример 38.3. Найдите решение задачи Коши: , если .

Решение. Общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид: у= = (см. пример 38.2). Воспользуемся начальными условиями: , следовательно, при . Подставим эти числа в общее решение:

. Выразим из данного уравнения С: .

Подставив найденное значение С в общее решение у = , получим следующее частное решение дифференциального уравнения: у = .

Ответ: у = .

1. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

Наиболее простым дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида: . В нем в левой части стоит функция f (x), зависящая только от переменной х, а в правой – функция g (y), зависящая только от переменной у. Такое дифференциальное уравнение называют уравнением с разделенными переменными.

Для нахождения решения такого уравнения достаточно взять интеграл от обеих частей: .

Пример 38.4. Найдите решение дифференциального уравнения: .

Решение. Данное дифференциальное уравнение представляет собой уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения:

. Тогда

- общее решение дифференциального уравнения .

Ответ: .

Если дифференциальное уравнение путем преобразований можно привести к виду , то оно называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Для решения такого уравнения необходимо:

1. Если в уравнении встречается , то представить его как .

2. Произвести разделение переменных (в одной части при dx собрать выражения, содержащие только переменную х; в другой части при dу собрать выражения, содержащие только переменную у).

3. Почленно проинтегрировать уравнение с разделенными переменными.

Пример 38.5. Найдите решение дифференциального уравнения: .

Решение. Данное уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Представим , тогда или .

Будем собирать множители с у в левой части, с х – в правой: .

Интегрируя обе части, получим: или - общее решение.

Ответ: .

Замечание. Иногда при нахождении решения дифференциального уравнения, каждое слагаемое которого представляет собой натуральный логарифм, в качестве константы можно выбирать . Такую операцию можно было бы произвести в примере 38.5. Тогда общее решение дифференциального уравнения имело бы вид: . Применим свойства логарифма: или . Откуда можно заключить, что . Этот прием особенно эффективен при решении задачи Коши.

1. Приложение дифференциальных уравнений.

Как уже отмечалось, дифференциальные уравнения находят широкое применение в практической деятельности человека. Рассмотрим некоторые задачи, сводящиеся к решению дифференциальных уравнений.

Пример 38.6. Составить уравнение линии, проходящей через точку М (2;-3) и имеющей в каждой точке угловой коэффициент касательной .

Решение. Обратимся к геометрическому смыслу производной: k = или . Поскольку задано в условии задачи, то можно составить уравнение:

- простейшее дифференциальное уравнение первого порядка.

- семейство линий, имеющих в каждой точке угловой коэффициент касательной .

Выделим уравнение одной линии, проходящей через точку М (2;-3). Подставим в уравнение значения и :

.

Получили, что - уравнение линии, проходящей через точку М (2;-3) и имеющей в каждой точке угловой коэффициент касательной .

Ответ: .

Пример 38.7. Тело движется прямолинейно со скоростью . Найдите закон движения тела, если при тело находилось в начале координат.

Решение. Воспользуемся физическим смыслом производной: . Поскольку задано в условии задачи, то можно составить уравнение:

- простейшее дифференциальное уравнение первого порядка.

- общее решение дифференциального уравнения.

Найдем частное решение этого уравнения. Поскольку по условию при тело находилось в начале координат, подставим в уравнение значения и : .

Подставляя С в общее решение, получим, что - искомый закон движения тела.

Ответ: .

Контрольные вопросы:

1. Что называют дифференциальным уравнением?
2. Что такое порядок дифференциального уравнения?
3. Что называют решением дифференциального уравнения? Какова геометрическая интерпретация множества решений дифференциального уравнения?
4. Какая задача получила название задачи Коши?
5. Какие процессы в окружающем мире описываются с помощью дифференциальных уравнений?
6. Какое уравнение называют простейшим дифференциальным уравнением первого порядка? Каков принцип его решения?
7. Какие дифференциальные уравнения называют уравнениями с разделенными и разделяющимися переменными? Каков метод их решения?

Дата добавления: 2014-12-27