КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве
Вопросы для самопроверки 1. Напишите формулы для вычисления расстояния между двумя точками и деления отрезка в данном отношении. 2. Как найти координаты середины отрезка? 3. Как найти угловой коэффициент прямой, если она задана общим уравнением? 4. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности прямых. 5. Что представляет собой уравнение пучка прямых? 6. Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки. 7. Как найти расстояние от точки до прямой?
Вектор – отрезок, имеющий определенную длину и направление. Любой вектор можно разложить по ортам координатных осей: , где х, у, z – проекции вектора на оси координат, - орты (единичные векторы координатных осей). Модуль (длина) вектора определяется по формуле: (3.1.1) Если известны координаты начала и конца В()вектора, то вектор можно записать следующим образом: (3.1.2) Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется произведение их модулей на косинус угла между ними: . Отсюда нетрудно определить угол между векторами . (3.1.3) Если векторы и заданы своими проекциями = и = , то скалярное произведение находится по формуле: . (3.1.4) Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.: . (3.1.5) Векторным произведением двух векторов называется вектор , определяемый условиями: 1) вектор перпендикулярен векторам и , т.е. , ; 2) векторы , и образуют правую тройку; 3) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е. . Для векторов, заданных проекциями = и = , векторное произведение имеет вид: . (3.1.6) Отсюда, условие коллинеарности векторов: . (3.1.7)
Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор , т.е.:
() . Геометрически модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и , как на ребрах.
Если векторы заданы проекциями = , = и = , то смешанное произведение имеет вид: . (3.1.8) Условие компланарности (принадлежности трех векторов одной плоскости или параллельности плоскостям), имеет вид: . (3.1.9) Знание векторной алгебры во многом упрощает решение задач по аналитической геометрии в пространстве. Так, уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М(), перпендикулярно вектору имеет вид: . (3.1.10) Уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(), В(), и С(), имеет вид: (3.1.11) Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид: , (3.1.12) где ()-точка, через которую проходит прямая; -проекции направляющего вектора прямой. Уравнения прямой, проходящей через две точки, определяются так: . (3.1.13) Если прямая вида (3.1.12) перпендикулярна плоскости, заданной общим уравнением: , то выполняется условие: . (3.1.14) Рассмотрим несколько примеров применения изложенных выше теоретических положений. Пример 6. Записать вектор в системе орт и найти его модуль, если А(1, 2, 3); В(0, 1, 5). Решение. Используя формулу (3.1.2) получим: =(0-1) = .
Используя формулу (3.1.1), найдем модуль этого вектора: (ед.дл.)
Пример 7. Найти угол между векторами и . Решение. Используя формулу (3.1.3), получим: , что соответствует углу . Пример 8. Найти площадь треугольника, образованного двумя векторами и , выходящими из одной точки. Решение. Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине площади параллелограмма, построенного на этих же векторах как на сторонах, т.е. равна модуля векторного произведения векторов и : . Векторное произведение найдем по формуле (3.1.6): Найдем модуль полученного вектора, используя формулу (3.1.1):
Тогда искомая площадь будет: (кв.ед.) Пример 9. Найти объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах: . Решение: Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах как на ребрах, равен , где , где -смешанное произведение векторов.
Величину найдем по формуле (3.1.8): = Тогда (куб.ед.). Пример 10. Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки А(1,2,5) и В(0,1,2). Решение: Подставив координаты точек А и В в уравнение (3.1.13), получим: ; ; . Пример 11. Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(1, 2, 3); В(1, 1, 0) и С(2, 3, 1). Решение: Используя уравнение (3.1.11), получим:
(х-1) , Пример 12. Через точку А(1, 0, 2) провести прямую, перпендикулярную плоскости Решение. Используем канонические уравнения прямой (3.1.12), подставив координаты точки А, получим: . Проекции направляющего вектора прямой найдем из условия перпендикулярности прямой и плоскости (3.1.14). В нашем случае это будет: , тогда будем иметь: .
Дата добавления: 2014-12-26; Просмотров: 824; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |