Арифметические операции с числами, представленными в формате с плавающей запятой

Деление без восстановления остатка

Приведенный выше метод деления называется методом деления с восстановлением остатка. При получении отрицательного остатка на очередном шаге деления необходимо перед левым сдвигом восстановить остаток путем добавления к нему делителя. При этом для получения n-разрядного частного требуется в среднем 1, 5n циклов сложения/вычитания.

Существует алгоритм деления без восстановления остатка, позволяющий корректировать отрицательные остатки без дополнительного цикла сложения. Рассмотрим действия, производимые с остатками в цикле деления в зависимости от полученного знака остатка (табл. 3.4).

Видно, что если на очередном шаге остаток получился отрицательный, его можно не восстанавливать, но на следующем шаге в этом случае нужно вместо вычитания делителя из сдвинутого остатка добавить делитель к сдвинутому остатку.

(Страница71)

Таблица 3.4. Действия, производимые с остатками в цикле деления

Номершага	Действие	W>0	W<0
	Восстановление остатка	Нет	W+B
	Сдвиг влево	2W	2*(W+B)
	Вычитание делителя	2W - B	2*(W+B) - B=2W+B

Действительно, если W - B< 0, то следует восстановление остатка и сдвиг восстановленного остатка влево (его удвоение) 2*(W - B+B). На следующем шаге вычитаем делитель и получаем 2W - В. Тот же результат может быть получен, если сдвинуть невосстановленный остаток, но на следующем шаге вместо вычитания произвести добавление делителя: 2 - (W - В)+В=2W - 2В+В=2W+В.

В таком формате число определяется значениями мантиссы и порядка:

N=m*q^p, (3.30)

где m — мантисса числа, p — порядок, q — основание.

Мантисса и порядок могут иметь свои знаки, причем знак мантиссы соответствует знаку числа. Основание q может не совпадать с основанием системы счисления. При операциях с двоичными числами часто для расширения диапазона представления чисел выбирают q=2^k, например, q= 16.

В машинном представлении формат числа с плавающей запятой (рис. 3.30) задается двумя полями — полем мантиссы m и полем порядка p, причем каждое поле имеет свой разряд знака. Значение порядка в формате числа не указывается — оно подразумевается одинаковым для всех чисел. Мантисса и порядок представляются в формате с фиксированной запятой, причем обычно порядок — целое число со знаком (запятая фиксирована после младшего разрядах а мантисса — правильная дробь (запятая фиксирована между знаковым разрядом и старшим разрядом модуля). С целью увеличения точности представления числа в заданном формате мантиссу представляют в нормализованной форме, когда старший разряд модуля мантиссы — не ноль (для прямых кодов). Действительно,

0, 2364*10⁴ ≈0, 0024*10⁶,

однако в последнем случае мантисса не нормализована и точность представления числа — всего два десятичных разряда.

Рис. 3.30. Формат числа с плавающей запятой

(Страница72)

Существуют и другие форматы представления чисел с плавающей запятой. Так, стандарт IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers — институт инженеров по электротехнике и электронике), который, кстати, поддерживают (со)процессоры семейства x86(87) предусматривает числа с одинарной и двойной точностью.

Форматы представлены тремя полями:

□ s — знак числа;

□ e — характеристика;

□ m — мантисса.

Формат с одинарной точностью занимает 32-разрядное двоичное слово, причем знак s размещается в его старшем разряде, характеристика e — в следующих 8 разрядах и, наконец, 23 младших разряда занимает мантисса m.

Порядок p, под который отводится один байт, может принимать значения в диапазоне 127. Характеристика в стандарте IEEE получается как порядок с избытком 127: е=p+ 127. При этом характеристика всегда положительна, что упрощает выполнение арифметических операций.

Мантисса числа в стандарте IEEE нормализована и лежит в диапазоне 1≤ т<2. Целая часть мантиссы всегда равна 1, поэтому значение целой части не хранится в формате числа, а подразумевается (т. н. "скрытая единица"). Дробная часть мантиссы хранится в 23 младших разрядах формата.

Формат с двойной точностью отличается длиной полей характеристики (11 битов с избытком 1023) и мантиссы (52 бита) и размещается в 64 - разрядном двоичном слове.

Попробуйте самостоятельно оценить диапазон представления чисел в форматах IEEE. Подробности о выполнении операций с этими форматами можно посмотреть в [3, 12].

Дата добавления: 2015-04-25