Монотонные последовательности. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности

Теорема о предельном переходе в неравенствах. Теоремы о промежуточной последовательности.

Сходящиеся числовые последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности. Свойства сходящихся числовых последовательностей.

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, не имеющая его – расходящейся.

Определить предел последовательности .

(Ответ: .)

Основные свойства сходящихся последовательностей

1.Если последовательность {x_n} имеет предел, то он единственный.

2.Если последовательность {x_n} сходится, то она ограничена.

Доказательство

Пусть . Зададим . Тогда : .

Известно, что ,

поэтому <1

.

Пусть ,

тогда очевидно, что .

1)Последовательность {x_n} называется возрастающей, если .

2) Последовательность {x_n} называется неубывающей, если .

3) Последовательность {x_n} называется убывающей, если .

4) Последовательность {x_n} называется невозрастающей, если

Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть для определенности - возрастающая и ограничена сверху. Зафиксируем , а так как ограничена, то и

. Тогда в силу монотонности заданной последовательности

в силу (1.2.1) .

Поэтому , что по определению. означает .

Аналогично теорема доказывается для случая, когда - убывающая и ограничена снизу.

Дата добавления: 2015-03-29