Наклонные асимптоты

Горизонтальные асимптоты

Если

,

то у = b — горизонтальная асимптота кривой y = f (x) (правая – при х стремящемуся к плюс бесконечности, левая – при х стремящемуся к минус бесконечности и двусторонняя, если пределы при х стремящемуся к плюс-минус бесконечности равны).

Рис. 8.3. Примеры горизонтальных двухсторонних и односторонних асимптот

Уравнение наклонной асимптоты функции y = f (x) определим уравнением y = k·x + b. При этом параметры наклонной асимптоты определяются соотношениями

,
.

Для того, чтобы функция y = f (x) имела асимптоту y = k ·x + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали указанные выше конечные пределы.
Доказательство. По определению асимптоты имеем

.

Так как MP = MP ₁·cos α, где угол α есть величина постоянная, равная углу наклона асимптоты к оси Ох. Поэтому соотношение для определения асимптоты можно записать в виде

.

Так как точки М и Р ₁ соответствуют одному и тому же значению аргумента, то это соотношение можно записать в виде

. (9.1)

Если вынести за скобки х, то

,

из этого однозначно будет следовать

,

или

.

Откуда следует соотношение для нахождения углового коэффициента асимптоты

.

Зная угловой коэффициент асимптоты, из соотношения (9.1) получим

.

12. план исследования функции.

1. Определение области определения.
2. Определение четности или нечетности.
3. Определение периодичности функции.
4. Определение интервалов знака постоянства первой производной.
5. Определение интервалов знака постоянства второй производной.
6. Составление таблицы результатов.

х
у '
у ''
у

1. В первой строчке таблицы указываются интервалы, на которые разбивается область определения функции точками разрыва, точками экстремума и точками перегиба в порядке следования. Сами эти точки в порядке следования помещаются в отдельные столбцы. Во второй строчке таблицы в каждой ячейке указываются знаки первой производной. В третьей строчке таблицы в каждой ячейке указываются знаки второй производной. В четвёртой строчке определяется характер поведения функции в каждой ячейке. Если это точки экстремума или точки перегиба, то указываются значения функции в этих точках.
2. Нахождение асимптот.
3. Построение графика функции, начинается с построения асимптот и характерных точек.

Дата добавления: 2015-03-29