КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Угол между плоскостями
Пусть плоскости и заданы соответственно уравнениями и . Требуется найти угол между этими плоскостями. Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры и к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы и плоскостей и с началами в точке (рис. 11.6).
Рис.11.6.Угол между плоскостями
Если через точку провести плоскость , перпендикулярную линии пересечения плоскостей и , то прямые и и изображения векторов и будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).
Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый
Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой
В одном варианте (рис. 11.7) и , следовательно, угол между нормальными векторами равен углу , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями и . Во втором варианте (рис. 11.8) , а угол между нормальными векторами равен . Так как то в обоих случаях . По определению скалярного произведения . Откуда и соответственно
Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула (11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями. Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:
Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей
где -- любое число. 34. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. § 1. Каноническое уравнение плоскости в пространстве Пусть в декартовой системе координат дан вектор n ={A,B,C} и точка М0=(x0, y0, z0). Построим плоскость Π, проходящую через т. М0, перпендикулярную вектору n (этот вектор называют нормальным вектором или нормалью плоскости). Утверждение 1: М Π ó М0М n. М0М={ x-x0, y-y0, z-z0 } n ó A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. (*) (См. свойства скалярного произведения) · Каноническое уравнение плоскости в пространстве: Аx+By+Cz+D=0, где D = -A x0 -B y0 -C z0. Замечание 1: формула (*) используется при непосредственном решении задач, после упрощения получается искомое каноническое уравнение плоскости. Пример 1. Написать каноническое уравнение плоскости, перпендикулярной вектору n={3,1,1} и проходящей через точку М(2,-1,1). Пример 2. Написать каноническое уравнение плоскости, содержащей точки K(2,1,-2), L(0,0,-1), M(1,8,1).
§ 2. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве
Пусть в декартовой системе координат дан вектор a ={p,q,r} и точка М0=(x0, y0, z0). Построим прямую l, проходящую через т. М0, параллельную вектору a (этот вектор называют направляющим вектором прямой). Утверждение 2: М l ó М0М || a. М0М={ x-x0, y-y0, z-z0 } || a ó t R, т.ч. М0М=t ·a => · Параметрические уравнения прямой в пространстве: (**) Вы никогда не сталкивались с параметрическим заданием кривых? Поясним на примере: представьте себе, что по заранее намеченному маршруту с известной скоростью движется турист (автомобиль, самолёт, подводная лодка, как Вам больше понравится). Тогда, зная точку начала его путешествия, мы в любой момент времени знаем, где он находится. Таким образом, его положение на маршруте определяется всего одним параметром – временем. В нашем случае турист движется по бесконечной прямой в пространстве, в момент времени t0=0 он находится в точке М0, в любой другой момент времени t его координаты в пространстве вычисляются по формулам (**).
Теперь несколько преобразуем формулы (**). Выразим из каждой строчки параметр t: · Канонические уравнения прямой в пространстве:
Замечание 2: Эта компактная запись на самом деле содержит три уравнения. Замечание 3: Это формальная запись и выражение вида в данном случае допустимо. Замечание 4: Надо понимать, что для уравнения плоскости (прямой) играет роль именно направление перпендикулярного (направляющего) вектора, а не он сам. Т.о. вполне допустимо из каких-либо соображений заменять данный (или полученный в ходе решения) вектор на пропорциональный ему. Целесообразно также упрощать полученное уравнение, деля все его коэффициенты на общий множитель. Пример 3. Написать канонические и параметрические уравнения прямой, параллельной заданной прямой и проходящей через заданную точку. Пример 4. Написать канонические уравнения прямой, заданной пересечением двух плоскостей. Пример 5. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
§3. Расстояние от точки до плоскости в пространстве
Пусть в декартовых координатах плоскость Π задана уравнением: Ax+By+Cz+D=0, а точка М1=(x1,y1,z1). Утверждение 3: расстояние от точки М1 до плоскости Π вычисляется по формуле: Пример 6. Найти расстояние от точки до плоскости.
§4. Координаты точки, делящей отрезок в заданном соотношении
Пусть в декартовой системе координат М1=(x1,y1,z1), М2=(x2,y2,z2). Утверждение 4: Координаты т. М, т.ч. М1М=λ∙ММ2, находятся по следующим формулам: . 35. Угол между прямой и плоскостью. Угол между прямыми.
Дата добавления: 2015-04-23; Просмотров: 510; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |