Некоторые свойства функций, имеющих предел

на бесконечности:

Теорема 1. Если функция имеет предел при х, то только один.

Теорема 2. Если функция имеет предел при x, то она ограничена на некотором открытом луче (М, +).

Теорема 3 (о предельном -переходе в неравенствах). Если и на некотором луче (а, +) выполняется неравенство f(х)<g (х), то b<c.

Следствие. Если f(х)>0 (f(х)<0) на некотором луче (а, +) и существует, то он неотрицателен (неположителен).

Теорема 4 (о пределе промежуточной функции). Если и на некотором луче (0, +) справедливо двоичное неравенство), то и

Теорема 5. Пусть

Тогда: 1) =b+c

2) =bc

В точке:

Теорема 6. Если функция имеет предел при ха, то только один.

Теорема 7. Если функция имеет предел при ха, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки а.

Теорема 8 (о предельном переходе в неравенствах). Если

и в некоторой проколотой окрестности точки а выполняется неравенство f(x)<g(x). то b<c.

Следствие. Если f{х)>0 (f(х)<0) в некоторой проколотой окрестности точки а и существует, то он неотрицателен (неположителен).

Теорема 9 (о пределе промежуточной функции). Если и в некоторой проколотой окрестности точки а справедливо неравенство g(х)<f(х)<h(х), то и

Теорема 10. Пусть . Тогда:

1) +с;

2) ;

4) ,

(если ).

Дата добавления: 2015-04-24