Дифференциальные уравнения равновесия

Подведение итогов

- Что узнали на уроке? Что особенно понравилось, запомнилось?

- Что вызвало трудности?

Выделим из тела, находящегося под действием внешних сил, бесконечно малый параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям, а ребра имеют длину . На каждой грани такого элементарного параллелепипеда действуют по три составляющие напряжения, параллельные координатным осям. Всего на шести гранях получим 18 составляющих напряжений.

Нормальные напряжения обозначаются в виде , где индекс обозначает нормаль к соответствующей грани (т.е. может принимать значения ). Касательные напряжения имеют вид ; здесь первый индекс соответствует нормали к той площадке, на которой действует данное касательное напряжение, а второй указывает ось, параллельно которой это напряжение направлено (рис.1.1).

Рис.1.1. Нормальные и касательные напряжения

Для этих напряжений принято следующее правило знаков. Нормальное напряжение считается положительным при растяжении, или, что то же самое, когда оно совпадает с направлением внешней нормали к площадке, на которой действует. Касательное напряжение считается положительным, если на площадке, нормаль к которой совпадает с направлением параллельной ей координатной оси, оно направлено в сторону соответствующей этому напряжению положительной координатной оси.

Составляющие напряжений являются функциями трех координат. Например, нормальное напряжение в точке с координатами можно обозначать

В точке, которая отстоит от рассматриваемой на бесконечно малом расстоянии, напряжение с точностью до бесконечно малых первого порядка можно разложить в ряд Тейлора:

Для площадок, которые параллельны плоскости изменяется только координата х, а приращения Поэтому на грани параллелепипеда, совпадающей с плоскостью нормальное напряжение будет , а на параллельной грани, отстоящей на бесконечно малом расстоянии , — Напряжения на остальных параллельных гранях параллелепипеда связаны аналогичным образом. Следовательно, из 18 составляющих напряжения неизвестными являются только девять.

Кроме напряжений на параллелепипед действуют объемные силы. Если обозначить проекции на координатные оси объемных сил, отнесенных к единице объема тела через то составляющие объемных сил, действующие в объеме рассматриваемого параллелепипеда, будут

Для тела, находящегося в равновесии, должны удовлетворяться шесть уравнений статики: три уравнения проекций на координатные оси и три уравнения моментов относительно этих осей.

Составим уравнение проекций на ось х. Умножая каждое напряжение на площадь грани, по которой оно действует, и переходя таким образом от напряжений к силам, получим

После преобразований это уравнение равновесия принимает вид

Аналогичным образом получаются два других уравнения проекций, и в результате три дифференциальных уравнения равновесия записываются так:

(1.1)

Перейдем к уравнениям моментов относительно координатных осей. Составим сумму моментов всех сил относительно оси у:

После преобразований, отбрасывая величины четвертого порядка малости и разделив на объем параллелепипеда, получим

Суммы моментов относительно двух других осей дают аналогичные соотношения. Эти три равенства выражают закон парности касательных напряжений:

(1.2)

Этот закон формулируется следующим образом: по двум взаимно перпендикулярным площадкам составляющие касательных напряжений, перпендикулярные линии пересечения этих площадок, равны друг другу.

Равенства (1.2) приводят к тому, что из девяти составляющих напряжений, характеризующих напряженное состояние в точке тела, остаются только шесть:

(1.3)

Для определения этих шести величин есть только три уравнения равновесия (1.1), следовательно, задача теории упругости по определению напряжений в бесконечно малом объеме является статически неопределимой.

Недостающие уравнения можно получить, рассматривая деформации тела и его физические свойства.

Дата добавления: 2015-05-10