Кодирование и декодирование числовой информации

Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.

Пример:

а) перевести 181₁₀ Х₈ .

.

181 8 176 22 8 5 16 2

Результат: 181₁₀ = 265₈ .

б) перевести 622₁₀ Х₁₆ .

.

622 16 48 38 16 142 32 2 128 6

Результат: 622₁₀ = 26E₁₆ .

в) перевести 57₁₀®Х₂ .

.

57 2 56 28 2 1 28 14 2 0 14 7 2 0 6 3 2 1 2 1

Результат 57₁₀ = 111001₂ .

Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в недесятичную. Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Пример.

Перевести 0,3125₁₀ Х₈ .

.

0 3125´8 2 5000´8 4 0000

Результат: 0,3125₁₀ = 0,24₈ .

Замечание. Конечной десятичной дроби в другой системе счисления может соответствовать бесконечная (иногда периодическая) дробь. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности.

Пример.

Перевести 0,65₁₀ Х₂ . Точность 6 знаков.

0 65´2 1 30´2 0 60´2 1 20´2 0 40´2 0 80´2 1 60´2 ...

Результат: 0,65₁₀ 0,10(1001)₂ .

Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.

Пример.

Перевести 23,125₁₀ Х₂ .

1) переведем целую часть	2) переведем дробную часть
; 23 2 22 11 2 1 10 5 2 1 4 2 2 1 2 1	. 0 125´2 0 250´2 0 500´2 1 000

Таким образом: 23₁₀ = 10111₂; 0,125₁₀ = 0,001₂.

Результат: 23,125₁₀ = 10111,001₂.

Необходимо отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби - дробями в любой системе счисления.

Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем представления числа в виде полинома с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.

Пример:

а) перевести 10101101,101₂ Х₁₀ .

10101101,101₂ = 1×2⁷+ 0×2⁶+ 1×2⁵+ 0×2⁴+ 1×2³+ 1×2²+ 0×2¹+ 1×2⁰+ 1×2^-1+ 0×2^-2+ 1×2^-3 = 173,625₁₀;

б) перевести 703,04₈ Х₁₀ .

703,04₈ = 7×8²+ 0×8¹+ 3×8⁰+ 0×8^-1+ 4×8^-2 = 451,0625₁₀;

в) перевести B2E,4₁₆ Х₁₀ .

B2E,4₁₆ = 11×16²+ 2×16¹+ 14×16⁰+ 4×16^-1 = 2862,25₁₀.

Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом – триадой (см.табл. 2) или четырех-разрядным двоичным числом – тетрадой (см.табл. 2), при этом отбрасывают ненужные нули в старших и младших разрядах.

Пример:

а) перевести 305,4₈ Х₂.

3 0 5, 4 ₈ = 11000101100₂. 011 000 101 100

б) перевести 7B2,E₁₆ Х₂.

7 В 2, Е ₁₆ = 11110110010,111₂. 0111 1011 0010 1110

Для перехода от двоичной к восьмеричной (шестнадцатеричной) системе поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Пример:

001 101 111 001, 110 100 ₂ = 1571,64 ₈. 1 5 7 1 6 4

а) перевести 1101111001,1101₂ Х₈.

б) перевести 11111111011,100111₂ Х₁₆.

0111 1111 1011,1001 1100 ₂= 7 FB 9 C ₁₆. 7 F B 9 C

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.

Пример.

Перевести 175,24₈ Х₁₆

1 7 5, 2 4 ₈ = 1111101,0101₂ = 01111101, 0101₂ = 7D,5₁₆ 001 111 101. 010 100 7 D 5

Результат: 175,24₈ = 7D,5₁₆.

Преобразования чисел из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы и наоборот столь просты (по сравнению с операциями между этими тремя системами и привычной нам десятичной) потому, что числа 8 и 16 являются целыми степенями числа 2. Этой простотой и объясняется популярность восьмеричной и шестнадцатеричной систем в вычислительной технике и программировании.

Двоичная арифметика

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичного сложения, вычитания и умножения (табл. 3).

Таблица 3

Правила двоичного сложения, вычитания и умножения

Таблица двоичного сложения	Таблица двоичного вычитания	Таблица двоичного умножения
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10	0-0=0 1-0=1 1-1=0 10-1=1	0 0=0 0 1=0 1 0=0 1 1=1

При сложении двоичных чисел суммируются цифры в одноименных разрядах. Если полученная сумма равна или больше 2, то вычисляется единица переноса в старший разряд, которая добавляется к сумме цифр старшего разряда.

Пример.

Выполнить сложение двоичных чисел:

единицы переноса 1 1 1101.

а) X=1101, Y=101;

Результат: X+Y = 1101+101 = 10010.

б) X=1101, Y=101, Z=111;

единицы переноса 1 1 1 1101.

Результат: X+Y+Z = 1101+101+111 = 11001.

При вычитании двоичных чисел производится поразрядное вычитание цифр вычитаемого из цифр уменьшаемого. Если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то из старшего разряда занимается единица, которая будет равна двум единицам данного разряда.

Пример.

Заданы двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X-Y.

101.

Результат: 10010 - 101=1101.

Умножение двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных с помощью таблиц двоичного умножения и сложения.

Пример.

101101.

1001 101=?

Результат: 1001 101=101101.

Деление двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных. При этом используются таблицы двоичного умножения и вычитания.

110001,1 1001 1001 101,1 0.  

Пример.

1100,011: 10,01=?

Результат 1100,011: 10,01=101,1.

Арифметические действия с числами в восьмеричной и шестнад-цатеричной системах счисления выполняются по аналогии с двоичной и с десятичной системами. Для этого необходимо воспользоваться соответствующими таблицами, приведенными в приложении.

Дата добавления: 2015-05-10