Изоморфизм евклидовых пространств

Введем понятие изоморфизма евклидовых пространств. Пусть и − два каких-нибудь евклидова пространства. Назовем их изоморфными, если:

1) они изоморфны как аффинные пространства, т. е. как линейные пространства, в которых не определено скалярное произведение;

2) изоморфное отображение сохраняет скалярное произведение: , где , − векторы из и , − их образы из .

Назовем, далее, действительное пространство -мерных строк (и аналогично действительное пространство -мерных столбцов) евклидовым, если в этом пространстве скалярное произведение любой пары строк и равно . Евклидово пространство -мерных строк мы будем обозначать через (и через − евклидово пространство -мерных столбцов).

Отсюда видно, что строки образуют ортонормированный базис пространства .

Оказывается, что всякое -мерное евклидово пространство можно рассматривать с точностью до изоморфизма как евклидово пространство -мерных строк, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема. Евклидово пространство изоморфно евклидову пространству ().

Доказательство. Возьмем какой-нибудь ортонормированный базис пространства и каждому вектору из поставим в соответствие его координатную строку . Рассуждаем так же, как и при доказательстве теоремы 2 для линейных пространств, приходим к выводу, что пространства и изоморфны в аффинном смысле. Возьмем еще один вектор из . Образом вектора будет его координатная строка . При ортонормированном базисе скалярное произведение векторов и пространства должно быть равно . Но согласно определению евклидова пространства скалярное произведение строк и равно тому же числу . Мы видим, что , и теорема доказана.

Из теоремы вытекает в силу симметрии и транзитивности изоморфного отображения, что всякие два евклидова пространства одинаковой размерности изоморфны. Если же размерности двух евклидовых пространств различны, то они уже в аффинном смысле не могут быть изоморфными.

Дата добавления: 2015-05-29