Правило Лопиталя

Теорема. Пусть функции и :

1) дифференцируемы в некоторой окрестности точки ( - число или ), за исключением, может быть, самой точки 2) являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при 3) в указанной окрестности. Если существует конечный предел ( конечное либо ), то существует и

Данное утверждение справедливо и для одностороннего предела, когда либо

Пример 1. Найти

Имеем неопределённость вида , условия теоремы выполнены. Поэтому согласно правилу Лопиталя получим:

Пример 2. Найти

Раскроем неопределённость вида по правилу Лопиталя:

Иногда правило Лопиталя приходится применять последовательно несколько раз, чтобы избавиться от неопределённости.

Пример 3. Найти

Для неопределённости по теореме Лопиталя получим:

Применяя теорему Лопиталя, можно использовать известные асимптотические равенства, поскольку это иногда существенно упрощает выкладки.

Пример 4. Найти

Учитывая, что при будем иметь:

Пример 5. Найти

Применяя к неопределённости вида правило Лопиталя последовательно два раза, получим:

В примерах 6-9 требуется раскрыть неопределённость вида

Пример 6. Найти

Используя эквивалентность при и теорему Лопиталя, получим:

Пример 7. Найти

Применяя правило Лопиталя два раза, будем иметь:

Пример 8. Найти

Для такое, что а тогда Покажем, что для , применив правило Лопиталя раз:

Согласно принципу двустороннего ограничения:

для

Пример 9. Найти

По теореме о пределе произведения получим:

а к пределу применим правило Лопиталя:

Тогда

Для раскрытия неопределённости вида необходимо сначала преобразовать выражение, чтобы получить неопределённость или .

Пример 10. Найти

C помощью элементарных преобразований сведём неопределённость вида к неопределённости , воспользуемся асимптотическим равенством при и применим правило Лопиталя:

Пример 11. Найти

Преобразуем данную функцию:

Рассмотрим и применим правило Лопиталя последовательно два раза:

Следовательно,

а тогда

В примерах 12-14 требуется раскрыть неопределённость вида

Пример 12. Найти

Сведя неопределённость к неопределённости , применим правило Лопиталя последовательно два раза:

Пример 13. Найти

Пример 14. Найти

Сделаем замену переменной если то Тогда .

Применяя к полученному пределу правило Лопиталя, будем иметь:

В примерах 15-20 для раскрытия неопределённостей вида и воспользуемся логарифмическим тождеством и сведём вычисление предела к раскрытию неопределённости

Пример 15. Найти

Применяя логарифмическое тождество, придём к вычислению следующего предела:

для которого после двукратного применения правила Лопиталя получим:

Тогда

Пример 16. Найти

C помощью логарифмического тождества преобразуем неопределённость к неопределённости вида , к которой применим затем правило Лопиталя и следствие из 2-го замечательного предела:

Тогда

Пример 17. Найти

С использованием результата примера 13 получим:

Пример 18. Найти

Полагая получим:

Так как и при то согласно примеру 13 будем иметь:

Пример 19. Найти

Согласно правилу Лопиталя:

Следовательно,

Пример 20. Найти

Тогда по правилу Лопиталя и с использованием примера 8 будем иметь:

.

Поэтому

Пример 21. Найти

Пусть сначала Если то функции и есть бесконечно малые при а следовательно, Если же а - любое, то откуда следует, что:

, а (пример 8). Согласно принципу двустороннего ограничения . Итак, доказано: при и

Пусть теперь Так как по доказанному выше то обратная величина является бесконечно большой при для

Если же то имеем: Сделаем замену будем иметь: Тогда:

1) при и и при и

2) при и и при и

3) если

Окончательно, предел равен нулю, если () либо ( или );

предел равен если () либо ( или ); предел равен 1, если

Применение правила Лопиталя не всегда возможно, поэтому надо внимательно следить за выполнением условий теоремы.

Пример 22. Объяснить, почему следующие пределы не могут быть найдены по правилу Лопиталя и найти их, если они существуют: 1) ; 2) .

Правило Лопиталя в обоих случаях неприменимо, так как предел отношения производных не существует, однако с использованием леммы о бесконечно малых легко получить, что 1) ;

2) .

Пример 23. Исследовать возможность применения правила Лопиталя к следующему пределу: .

Условия теоремы не выполнены, ибо производные и обращаются в нуль одновременно в любой окрестности точки , если , поэтому правило Лопиталя использовать нельзя. Отметим, что данный предел не существует, что легко получить по определению Гейне:

, если , то и ; при этом , а при .

Дата добавления: 2015-05-31