Сходимость степенных рядов. Теорема Н.Абеля

Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (7.3).

Область сходимости степенного ряда (7.3) содержит, по крайней мере, одну точку: (ряд (7.4) сходится в точке ).

Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы.

Теорема 7.1 (Абель). Если степенной ряд (7.3) сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству .

По условию ряд сходится. Следовательно, по необходимому признаку сходимости . Отсюда следует, что величина ограничена, т. е. найдется такое число М > 0, что для всех n выполняется неравенство ,

Пусть , тогда величина и, следовательно,

, ,

т. е. модуль каждого члена ряда (7.3) не превосходит соответствующего члена сходящегося (q < 1) ряда геометрической прогрессии. Поэтому по признаку сравнения при ряд (7.3) абсолютно сходящийся.

Следствие 7.1. Если ряд (7.3) расходится при , то он расходится и при всех х, удовлетворяющих неравенству .

Действительно, если допустить сходимость ряда в точке , для которой , то по теореме Абеля ряд сходится при всех х, для которых и, в частности, в точке , что противоречит условию.

Дата добавления: 2015-06-04