Фильтры Чебышева

Фильтры первого рода. Фильтры Чебышева с пульсациями передаточной функции в полосе пропускания и гладким затуханием в полосе подавления называют фильтрами Чебышева первого рода, в отличие от инверсных фильтров Чебышева (второго рода). Аппроксимационная формула фильтров Чебышева первого рода определяется выражением:

|H(W)|² = 1/ [1+d_N² T_N²(W)], (10.4.1)

где Т_N(W) - многочлен Чебышева N-го порядка:

T_n(W) = cos(n arccos(W)), W1. (10.4.2)

= ch(n arcch(W)), W>1. n = 1,2,...

Критерий приближения Чебышева, который широко используется не только в теории фильтров - минимум максимальной ошибки приближения (минимаксное приближение). В соответствии с этим приближением параметры передаточной функции подбираются таким образом, чтобы в полосе передачи АЧХ наблюдались равноволновые пульсации коэффициента передачи, которые являются "платой" за повышение крутизны среза фильтра.

Полиномы Чебышева вычисляются по рекуррентной формуле:

T_n(W) = 2W T_n-1(W) - T_n-2(W), (10.4.3)

T₁(W) = W, T_o(W) = 1.

Для ФНЧ при W = w/w_p имеет место Т_n(1) = 1, |H(W)|² = 1/(1+d²) и значением d задается коэффициент пульсаций в полосе передачи. При задании полосы по уровню А_p значение d рассчитывается аналогично фильтру Баттеруорта.

Соответственно, при задании А_s на границе полосы подавления, имеем:

1/(1+d² T_N²(w_s/w_p)) = A_s². (10.4.4)

N = arcch[/d] / arcch(w_s/w_p). (10.4.5)

Дальнейшие расчеты идентичны расчетам фильтров Баттеруорта, равно как и частотные преобразования фильтров ФНЧ в ФВЧ и ПФ.

Фильтры второго рода. Для фильтров Чебышева второго рода, с гладкой передаточной характеристикой в зоне пропускания и равноволновыми пульсациями в зоне подавления, используется функция:

|H(W)|² = 1/[1+d²(T_N²(W_s)/T_N²(W_s/W))], (10.4.6)

где W = w/w_p, W_s = w_s/w_p. Условие задания параметра d остается без изменений. На границе полосы подавления при w = w_s: 1+d²T_N²(w_s/w_p) = 1/A_s², откуда значение N также определяется аналогично фильтру первого рода. Дальнейший порядок расчетов фильтров Чебышева второго рода не отличается от фильтров первого рода.

Дата добавления: 2014-01-03