Постановка задачи интерполяции

Численная интерполяция

Часто требуется восстановить функцию для всех значений на отрезке , если известны ее значения в конечном числе точек этого отрезка. Эти значения могут быть найдены в результате наблюдений или вычислений, кроме того, может оказаться, что функция находится по достаточно трудоемкой для вычисления формуле и желательно иметь более простую формулу, чтобы определить функцию с заданной точностью. В результате возникает математическая задача интерполяции.

Пусть на отрезке задана сетка и в ее узлах заданы значения функции , равные . Требуется построить интерполянту – функцию , совпадающую с функцией в узлах сетки:

, (4.1)

где – некоторые неизвестные параметры.

Основная цель – получить быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений для , не содержащихся в таблице данных. Основным вопросом интерполяции является выбор интерполянты и оценка погрешности интерполяции, т.е. величины . Фактически он заключается в определении неизвестных параметров . По числу используемых узлов сетки будем называть интерполяцию одноточечной, двухточечной и т.д.

Если нелинейно зависит от параметров , то интерполяция называется нелинейной. Рассмотрим линейную зависимость функции от параметров , т.е. будем считать, что она представима в виде обобщенного многочлена

.

(4.2)

Известные, заранее заданные, функции должны быть линейнонезависимыми, иначе число членов в сумме и параметров можно уменьшить. На систему функций необходимо наложить еще одно ограничение. Подставив (4.2) в (4.1), получим следующую систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов :

.(4.3)

Чтобы задача (4.3) имела единственное решение, надо, чтобы для любого расположения узлов (лишь бы среди них не было совпадающих), определитель системы уравнений (4.3) был отличен от нуля: (4.4)

для . Система функций, удовлетворяющая требованию (4.4), называется чебышевской. Таким образом, для линейной интерполяции необходимо строить обобщенный полином по какой-либо чебышевской системе функций.

В качестве линейнонезависимых функций чаще всего выбирают: степенные функции (тогда – полином степени ), тригонометрические функции (в этом случае – тригонометрический полином), экспоненциальные и другие функции. Мы рассмотрим интерполяцию полиномами и сплайн-интерполяцию – кусочно-полиномиальную интерполяцию.

Указанный способ подбора функции называется лагранжевой интерполяцией. Возможен и другой способ, в котором требуется совпадение не только самих значений функции, но и их производных. В этом случае говорят об интерполяции Эрмита.

Дата добавления: 2017-01-14