Формы представление чисел в ЭВМ для позиционной системы счисления

Позиционные системы счисления

1.3.1. Системы счисления позиционные и непозиционные.

Система счисления - совокупность правил записи чисел с помощью определенного набора символов

В зависимости от способа изображения чисел, с/с могут быть позиционные и непозиционные.

В позиционной с/с количественное значение каждой цифры зависит от её местоположения (позиции, разряда) в числе.

Количество цифр, используемых для отображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы.

Вес разряда - отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде

s_i = рⁱ,
где i — номер разряда, а р — основание системы счисления.

Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:

число					.
номера разрядов						-1	-2

Итак, в позиционной системе счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий (движение справа на лево) разряд больше другого на степень основания системы счисления

В ЭВМ используются 3 формы записи чисел: естественная, нормальная и нормализованная.

При естественной форме – местоположение запятой, отделяющей целую часть от дробной, строго фиксировано: для правильных дробей – перед старшим разрядом, для целых чисел – после младшего разряда. (25,18 0,526). В современных ЭВМ естественная форма используется в основном для представления целых чисел.

При нормальной форме любое число Х представляется в виде

Х= Рⁿ * |M_x|,

где Р – основание системы счисления

n – целое число (порядок, разряд числа, место запятой)

M_x – мантисса числа (последовательность цифр числа)

Напр. Х = 45,2 м.б. представлено как 4,52*10

452*10^-1

При нормализованной форме мантисса лежит в пределах 0 ≤ | M_x| ≤ 1

Напр. Х = 45,2 нормализованная форма 0,452*10²

Х = 0,000687 нормализованная форма 0,687*10^-3

Запятая фиксируется перед старшим разрядом числа.

В непозиционной с/с цифры не меняют своего количественного значения при изменении их положения в числе. Число отображается равным количеством каких-либо значков.

1.3.2. Двоичная система счисления, как основная для ЭВМ и дополнительные — восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

В вычислительных машинах при кодировании информации используется двоичная система счисления. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры - 0 и 1 (основание системы счисления = 2). Выбор двоичной системы для применения в вычислительной технике объясняется тем, что электронные элементы - триггеры, из которых состоят микросхемы ЭВМ, могут находиться только в двух рабочих состояниях.

Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека: числа получаются длинными и их трудно записывать и запоминать.

Для человека самая привычная система счисления – десятеричная, т.е. все числа мы можем описать с помощью 10 цифр, это 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, т.е. основание системы счисления = 10

В программировании часто используется системы счисления, родственные двоичной - восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр.

В восьмеричной (в записи числа присутствуют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) и

В 16-теричной (в записи числа присутствуют цифры 0 – 9, а дальше используют заглавные латинские буквы А (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15)).

РИС. (1.3)1 Соответствие чисел в двоичной, восьмеричной, десятеричной и шестнадцатеричной системах счисления

Перевод чисел из одной системы счисления в другую, осуществляется по своим правилам.

1.3.3. Правила перевода чисел из десятеричной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.

Для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:

Выполнить последовательное деление с остатком исходного числа и каждого полученного частного на основание новой системы счисления.

Записать вычисленные остатки, начиная с последнего (т.е. в обратном порядке)

Пример

РИС. (1.3)2 Перевод десятичного числа в двоичное

Для перевода правильных дробей из одной системы счисления в любую другую используется метод, базирующийся на умножении переводимой дроби на основание новой системы счисления

1.3.4. Правила перевода чисел из двоичной (восьмеричной и шестнадцатеричной) в десятеричную систему счисления

Обозначив цифры числа как ai, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:

x = a_nрⁿ + a_n-1р^n-1 +... + a₂р² + a₁р¹ + a₀р⁰ + a_-1р^-1 +...

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

Можно пойти еще дальше и разложить так:

1476 = 1 * 10³ + 4 * 10² + 7 * 10¹ + 6 * 10⁰

Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 - это набор цифр из которых состоит число 1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять (основание системы счисления) возведенную в ту или иную степень. Степень, в которую возводится основание – это разряд цифры за минусом единицы.

Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:

1. пронумеровать разряды исходного числа;

2. записать сумму, слагаемые которой получаются как произведения очередной цифры на основание системы счисления, возведенное в степень, равную номеру разряда;

3. выполнить вычисления и записать полученный результат (указав основание новой системы счисления — 10).

Примеры

РИС. (1.3)3 Перевод числа из двоичной системы счисления в десятеричную

1.3.5. Правила перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную

РИС. (1.3)4 Соответствие чисел двоичной системы счисления числам в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления

При работе с компьютерами широко применяют двоичную систему счисления (поскольку на ней основано представление информации в компьютере), а также восьмеричную и шестнадцатеричную, запись в которых более компактна и удобна для человека. С другой стороны, благодаря тому что 8 и 16 — степени 2, переход между записью в двоичной и одной из этих систем, с кратными основаниями, осуществляется без вычислений.

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

1.3.6. Правила перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления в двоичную

Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

Дата добавления: 2017-02-01