Абарачэнне квадратнай матрыцы метадам Гаўса

Для неасаблiвай матрыцы iснуе асноўнае судачынене:

(14)

дзе: A^-1 – матрыца, адваротная матрыцы A;

E – адзiнкавая матрыца.

Разгледзiм алгарытм абарачэння для матрыцы A трэцяга парадку:

Перамнажаючы матрыцы A i A^-1, будзем мець n сiстэм раўнанняў адносна n´n невядомых элементаў x_ij матрыцы A^-1;

; (15)

; (16)

. (17)

Невядомымi велiчынямi ў сiстэмах (15), (16), (17) з¢яўляюцца слупкi матрыцы A^-1. Сiстэмы (15)-(17) маюць адну i тую ж матрыцу каэфiцыентаў A, але розныя правыя часткi, таму iх можна рашаць як адну сiстэму з некалькiмi правымi часткамi.

Прыклад. Выкарыстоўваючы метад Гаўса, знайсцi матрыцу, адваротную матрыцы А:

.

Састаўляем пашыраную матрыцу [ AE ], якая складаецца з двух блокаў (з матрыц A i E):

Прымяняем да пашыранай матрыцы аднаходавы алгарытм Гаўса (схему Жардана). Пасля выключэння невядомых x_1j (j=1, 2, 3) з другога i трэцяга раўнанняў сiстэм (15)-(17) пашыраная матрыца будзе мець выгляд:

.

Пасля выключэння невядомых x_2j (j=1, 2, 3) з першага і трэцяга, а затым х_3j (j=1, 2, 3) з першага і другога раўананяў сістэм (15)-(17) пашыраная матрыца будзе мець выгляд:

[AE]= .

На месцы матрыцы A мы атрымалi адзiнкавую матрыцу трэцяга парадку, а на месцы адзiнкавай матрыцы E – матрыцу А^-1, адваротную матрыцы A. Такiм чынам, адваротная матрыца мае выглдя:

A^-1 =

Для праверкi правiльнасцi падставiм матрыцу A^-1 у формулу (14) i выканаем перамнажэнне матрыц.

8. Метадам простай iтэрацыi рашыць СЛАУ:

Умовы збежнасцi (22) для кожнага раўнання выконваюцца: для кожнага радка маем ½1½+½1½<½4½. Прыводзiм сiстэму да выгляду, зручнага для выканання iтэрацый:

(23)

У якасцi пачатковага наблiжэння возьмем матрыцу C:

Першае наблiжэнне X⁽¹⁾ атрымаем, падставiўшы X⁽⁰⁾ у правую частку сiстэмы (23):

.

Такiм чынам, першае наблiжэнне:

.

Падстаўляем яго ў правую частку сiстэмы (23) i вылiчваем другое наблiжэнне:

Або:

Прымяняючы гэты алгарытм, атрымаем наступныя наблiжэннi:

i так далей.

Дакладнае рашэнне сiстэмы:

9 Метад Зэйдэля (метад палепшанай iтерацыі)

2.3.2. Метад Зэйдэля (метад палепшанай iтерацыі)

Метад Зэйдэля адрознiваецца ад метада простай iтэрацыi тым, што пры разлiку невядомай велiчынi k-ага наблiжэння ў правую частку сiстэмы (23) падстаўляюцца пераменныя k-ага наблiжэння, якiя ўжо вылiчаны на бягучым k-тым iтэрацыйным кроку з першага, другога,... і-1 раунанняў, i пераменныя k-1-ага наблiжэння, атрыманыя на папярэднiм iтэрацыйным кроку. Напрыклад, формулы для разлiку першага наблiжэння X⁽¹⁾ ў разгорнутай форме для сiстэмы трэцяга парадку маюць выгляд:

У большасцi выпадкаў метад Зэйдэля дае лепшую збежнасць iтэрацыйнага працэсу ў параўнаннi з метадам простай iтэрацыi.

Прыклад 5. Рашыць сiстэму прыкладу 4 метадам Зэйдэля.

Выкарыстоўваючы сiстэму (23) i нулявое наблiжэнне X⁽⁰⁾ = C, атрымаем першае наблiжэнне X⁽¹⁾:

Прымяняючы паслядоўна алгарытм Зэйдэля, атрымаем:

i так далей.

Параўноўваючы атрыманыя рэзультаты з дакладным рашэннем сiстэмы i з рэзультатамi метаду простай iтэрацыi, можна канстатаваць лепшую збежнасць метаду Зэйдэля ў параўнаннi з метадам простай iтэрцыi.

Дата добавления: 2017-02-01