Приклади

1. Графік лінійної залежності y = kx + b, як відомо з шкільного курсу, є пряма лінія. Оскільки її рівняння можна записати як

kx – y + b = 0,

бачимо, що ця пряма є алгебраїчною лінією першого порядку.

2. Графік квадратичної залежності y = ax ² + bx + c, який називається параболою, є очевидно, алгебраїчною лінією другого порядку. Те ж саме можна сказати про коло (рівняння (3.2)).

Нехай точка М, декартові координати якої позначимо (х; у), рухається по площині. Кожному моментові часу t відповідають певні значення х і у, тобто х і у є функціями часу t:

(3.5)

Рівняння (3.5) визначають закон руху точки М. Зі зміною t змінюється положення точки М (х; у), при цьому точка М описує деяку лінію (l) – свою траєкторію на площині. Отже, рівняння (3.5) визначають лінію – траєкторію точки М, тому їх називають параметричними рівняннями цієї лінії, а змінну t – параметром. Параметр не обов’язково являє собою час, в інших прикладах він може мати інший зміст, або бути взагалі абстрактною (неіменованою) величиною. Щоб перейти до рівняння лінії (l) у загальній формі (3.1), треба з двох рівнянь (3.5) виключити параметр (наприклад, з першого рівняння виразити t через х і підставити в друге рівняння (3.5)) Але це не завжди можливо і не завжди доцільно, часто буває зручнішим використовувати параметричну форму.

Приклад. Розглянемо траєкторію точки кола радіуса R, яке котиться без ковзання по прямій лінії (рис. 3.2, де пунктиром показане положення кола в початковий момент, а суцільною лінією – деяке поточне положення).

Рис. 3. 2.

Візьмемо за параметр кут t

повороту кола. Тоді

тут відрізок OL прирівняно дузі ML відповідно до умови відсутності ковзання. Ми одержали параметричні рівняння лінії, яка називається циклоїдою:

Ця лінія нескінченна, складається з безлічі однакових арок (дуг), кожна з яких відповідає повному оберту кола, що котиться. Точки стику сусідніх арок є точками звороту лінії, вони розташовані на осі Ох і мають абсциси, кратні 2 πR.

Дата добавления: 2014-01-04