Приклади геометричних застосувань декартових координат

1. Лінійні дії над векторами.

а) Д одавання: при додаванні векторів складаються відповідні координати цих векторів, тобто якщо , , то

;

б) множення на число: при множенні вектора на число всі його координати помножаться на це число, тобто якщо λ – число і – вектор, то

. (2.5)

2. Умова колінеарності двох векторів.

Вектори і паралельні (колінеарні) тоді і тільки тоді, якщо існує таке число λ, що .

Дійсно, якщо , то ïï за означенням множення вектора на число.

Навпаки, якщо ïï, то , де – орт вектора , знак плюс береться, якщо , знак мінус – якщо . Звідки

= = , де .

Отже, враховуючи (2.5), для координат колінеарних векторів виконуються рівності , , , або

. (2.6)

Таким чином два вектори колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх відповідні координати пропорційні.

3. Координати вектора, заданого початковою і кінцевою точкою.

Нехай задано точки М ₁і М ₂. Треба знайти координати вектора .

Розглянемо радіус-вектори

і .

Рис. 2. 8

Очевидно (рис. 2.8), що = , звідки

=. (2.7)

Отже, щоб одержати координати вектора , треба від координат кінця вектора М ₂ відняти відповідні координати його початку М ₁.

4. Поділ відрізка в даному відношенні.

Рис. 2. 9

Задано (рис. 2.9) кінці відрізка, точки М ₁і М ₂. Треба знайти на цьому відрізку точку М таку, що (– задане число). Маємо

,

,

.

Розглянемо вектори =і =.

За умовою і , тому =або ==, звідки , або

.

Прирівнюючи координати лівої і правої частини, одержимо:

; ; . (2.8)

Зокрема, якщо М – середина відрізка М ₁ М ₂, то = 1, отже

; ; . (2.9)

(координати середини відрізка дорівнюють середнім арифметичним відповідних координат кінців відрізка).

Приклад 1. Знайти вектор , де = (2; -3; -2), = (-1; 0; 3).

За формулою (2.5), 2= (2·2; 2·(-3); 2·(-2)) = (4; -6; -4), 5= (5·(-1); 5·0; 5·3) = (-5; 0; 15).

= (4 – (-5); -6 – 0; -4 – 15) = (9; -6; -19).

Приклад 2. Задано точки А (5; -1; -2) та В (-1; 4; -3). Знайти вектор .

За формулою (2.7), = (-1 – 5; 4 – (-1); -3 – (-2)) = (-6; 5; -1).

Приклад 3. Чи колінеарні вектори = (2; -3; -2) та ?

Вектор задано його розкладанням по базису. Випишемо його координати: = (6; -9; -6). Перевіримо, чи виконується рівність (2.6):

, , , тобто дійсно . Значить, ïï.

Приклад 4. Чи колінеарні вектори = (4; 0; -10) та = (-2; 0; 5)?

В цьому випадку перевірити рівність (2.6) неможливо, тому що координата = 0. Проте можна помітити, що -2= (4; 0; -10) = . Значить, за умовою колінеарності ïï.

Дата добавления: 2014-01-04