КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Свойства открытых и замкнутых множеств
Типы множеств вещественной прямой Положение точки относительно множества A Односторонние окрестности Топология вещественной прямой Числовые множества Основные множества чисел это отрезок [a; b] и интервал (a; b). Числовое множество A называется ограниченным сверху, если существует такое число M, что a £ M для любого a Î A. Число M в этом случае называется верхней гранью или мажорантой множества. Супремумом множества A, sup A называется … … наименьшая из его мажорант; … число M такое, что a £ M для любого a Î A и в любой окрестности M есть элемент множества A; Аналогично вводятся понятия «ограниченное снизу», «миноранта» (нижняя грань), и «инфимум» (точная нижняя грань). Полнота вещественной прямой (равносильные формулировки) 1. Свойство вложенных отрезков. Пусть заданы отрезки [a1; b1] É [a2; b2] É … É [an; bn] É … Они имеют хотя бы одну общую точку. Если длины отрезков можно выбрать сколь угодно малыми, то такая точка единственна. Следствие: метод дихотомии для теорем существования. Пусть задан отрезок [a1; b1]. Делим его пополам и выбираем одну из половин (так, чтобы она обладала нужным свойством). Эту половину обозначим через [a2; b2]. Продолжаем этот процесс неограниченно. Получим систему вложенных отрезков, длины которых приближаются к 0. Значит, они имеют ровно одну общую точку. Осталось доказать, что она и будет искомой. 2. Для любого непустого ограниченного сверху множества существует супремум. 3. Для любых двух непустых множеств, одно из которых лежит левее другого, существует разделяющая их точка (существование сечений). Окрестности: U(x) = (a, b), a < x < b; Ue(x) = (x – e; x + e), e > 0; U(¥) = (–¥; a) U (b; ¥), Ue(¥) = (–¥; –e) U (e; +¥), e > 0;
U(+¥) = (e; +¥); U(–¥) = (–¥; –e). Проколотые окрестности: Ǔ(x) = (a, x) U (x, b) = U(x) \ {x}; Ǔe(x) = (x – e; x) U (x; x + e) = Ue(x) \ {x} Ue–(x) = (x – e; x], e > 0; Ue+(x) = [x; x + e), e > 0; Ǔe–(x) = (x – e; x), e > 0; Ǔe+(x) = (x; x + e), e > 0. Точка прикосновения a Î R: в любой ее окрестности U(a) найдется точка из множества A. Предельная точка a Î R: в любой ее проколотой окрестности Ǔ(a) найдется точка из A. Изолированная точка a Î A: в некоторой ее проколотой окрестности Ǔ (a) нет точек из A. Внутренняя точка a Î A: входит в A вместе с некоторой своей окрестностью. Множество A называется открытым, если каждая его точка – внутренняя; замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки; замкнутым, если его дополнение R \ A открыто. Объединение любого числа открытых множеств открыто. Пересечение конечного числа открытых множеств открыто. Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1307; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |