П.1 Мера клеточных множеств

Будем рассматривать пространство.

Рассмотрим - полукольцо прямоугольников (клеток).

Клеточное (элементарное) множество: - объединение конечного числа прямоугольников. Система клеточных множеств образует кольцо.

Свойства меры клеточных множеств:

1.

2. - конечно-аддитивна, т.е.

3. Не зависит от способа разбиения на прямоугольники

■

Определение 1. Покрытием множества А называется конечная или бесконечная система открытых множеств, объединение которых содержит множество А:.

Лемма Гейне-Бореля. Пусть А -компакт, тогда из любого его покрытия можно выделить конечное подпокрытие. (без доказательства)

Теорема 1 (Полуаддитивность меры клеточных множеств)

Пусть А – клеточное множество - его покрытие прямоугольниками (конечное или счетное), тогда.

- замкнутое клеточное множество,

- открытое,: - клеточные,.

По Лемме Гейне-Бореля из выделим такую, что и

■

Следствие (𝛔 - аддитивность, счетная аддитивность)

Пусть - клеточные. Тогда.

, так как - покрытие ∎

П.2 Мера Лебега (классическая)

Рассмотрим. Пусть покрытие множества системой клеточных множеств.

Определение. Внешней мерой множества называется, где всевозможные покрытия множества А системами клеточных множеств.

Далее клеточное множество - кл.м.

Определение: Множество называется измеримым (по Лебегу), если.

Мера, заданная на измеримых множествах, называется мерой Лебега.

Свойства внешней меры:

· Если - клеточное, то;

· Если, то;

· Если, то;

·.

Свойства измеримых множеств:

1) Если, то - измеримо.

Пусть ∎

2) Если - измеримо, то - измеримо.

- измеримо ∎

3) Если - измеримы, то - измеримы.. Докажем включение

- измеримо ∎

4) Если - измеримы, то - измеримы.

∎

5) конечного числа измеримых множеств – измеримое множество.

Лемма..

∎

Теорема 2. (Конечная аддитивность меры Лебега)

Пусть - измеримы,, тогда.

По определению измеримого множества

Имеем,,.

Но также было доказано ранее, и по лемме

, но

∎

Теорема 3 (-аддитивность меры)

Объединение счетного числа измеримых множеств измеримо и

, где -измеримы,.

⧠ 1) Измеримость. Пусть -измеримы. Если их пересечения не пусты, то перейдем к системе непересекающихся множеств:.

Можем считать, что. Пусть.

Имеем - сходится..

Рассмотрим, С - измеримо,. Пусть B - кл.м.:.

Так как, то. - измеримо.

2) Докажем, что. Имеем Тогда при, но также, так как множества образуют покрытие множества А. Следовательно,.∎

Следствие. Пересечение счетного числа измеримых множеств - измеримо.

⧠ Пусть - измеримы. ∎

Теорема 4. (непрерывность меры)

Пусть - убывающая последовательность измеримых множеств. Тогда.

⧠ Пусть. Рассмотрим два случая.

1) Если.Имеем

При..

2). Тогда перейдем к множествам:, и ∎

Следствие. Для возрастающей последовательности измеримых множеств.

⧠ Для доказательства перейдем к множествам,

∎

Класс измеримых множеств образуют -алгебру.

Любое открытое ограниченное множество представимо в виде объединения счетного числа открытых прямоугольников оно измеримо.

Измеримы по Лебегу:

- все открытые множества;

-все замкнутые;

- счетные объединения открытых и замкнутых множеств (Борелевские множества)

- существуют и другие измеримые множества, не являющиеся борелевскими.

Множества с бесконечной мерой мы будем считать измеримыми (их мера равна бесконечности).

Дата добавления: 2014-01-04