Фрактальная размерность. Размерность Хаусдорфа-Безиковича

Фракталы сложно рассматривать как множество точек, вложенных в пространство. Когда речь идет об обычных геометрических объектах: линия, поверхность, шар, то их топологические размерности известны и являются целыми числами.

Рассмотрим, как вводится мера некоторого множества точек G, вложенного в пространство при определении размерности Хаусдорфа-Безиковича ( ).

Простой способ измерить длину кривых, площадь поверхности или объем тела состоит в том, чтобы разделить их на небольшие элементы – отрезки длиной , квадраты со стороной или на небольшие кубы с ребрами (рис. 3.1). Такой способ, например, применен попугаем в известном м/ф, когда он установил, что длина удава составляет 38 попугаев. С математической точки зрения мы применим некоторую элементарную меру (мерило, величина чего-то), как пробную функцию , где – размерность меры.

Пусть для некоторой кривой (рис. 2.1) длиной L_o, получено N(r) прямолинейных отрезков длиной , аппроксимирующих данную кривую. Тогда, если , получим:

. (2.1)

Рисунок 2.1 – Измерение «величины» различных множеств точек с помощью отрезков, квадратов и кубов с ребрами .

В пределе при мера L становится равной длине кривой и не зависит от .

Множеству точек кривой можно поставить в соответствие и площадь. Если N(r) – число квадратов, – площадь каждого из них, то площадь кривой определяется как:

. (2.2)

Аналогично, объем V кривой может быть найден как:

. (2.3)

Разумеется, что для обычных кривых площадь и объем V обращаются в нули при и тогда единственной (представляющей интерес) мерой является длина кривой L.

Теперь перейдем к поверхности (рис. 2.1), для которой в качестве меры множества точек возьмем площадь:

. (2.4)

Можно ли для поверхности в качестве меры взять объем? Формально это выглядит следующим образом:

. (2.5)

При этот объем для обычной поверхности также равен нулю.

Поставим другой вопрос: можно ли поверхности поставить в соответствие какую-нибудь длину?

Формально мы можем принять за такую длину величину:

, (2.6)

которая расходится при .

Этот результат объясняет, что поверхность невозможно покрыть конечным числом прямолинейных отрезков.

Вывод: единственной мерой множества точек, образующих поверхность в трехмерном пространстве является площадь.

Однако существуют «монстры», подобные кривой Пеано, «снежинке Коха» и другие, для которых требуется обобщить меру величины множества точек.

До сих пор, определяя меру величины множества точек G в пространстве, мы выбирали некоторую элементарную меру (пробную функцию) . Введем для пробной функции некоторый геометрический коэффициент y(d), зависящий от пробной функции:

, (2.7)

Для прямолинейных отрезков, квадратов, кубов геометрический коэффициент принимается равным , однако для других геометрических объектов он будет иным. Так, например, для круга , для сферы .

После выбора пробной функции множество G покрывается N(r) пробными функциями (элементарными мерами) и определяется мера этого множества:

. (2.8)

Анализируя это выражение, можно сделать вывод, что при мера равна бесконечности (при =0 получаем и или нулю (при некоторой величине малая величина приближается к нулю). Отсюда следует вывод, что моменту перехода из нуля в бесконечность соответствует некоторое конечное значение .

Размерность Хаусдорфа-Безиковича множества точек G есть критическая размерность, при которой мера изменяет свое значение с нуля на бесконечность:

. (2.9)

Приняв y(d) = 1, то есть, покрыв множество точек прямолинейными объектами (отрезок, квадрат, куб) и приравняв некоторой конечной величине, например 1, получим:

, (2.10)

откуда размерность Хаусдорфа-Безиковича определим по формуле:

. (2.11)

Если является дробной, то размерность Хаусдорфа-Безиковича будем обозначать и называть фрактальной размерностью Хаусдорфа-Безиковича.

Теперь перейдем к построению и изучению самоподобных фракталов.

Дата добавления: 2014-01-04