Интерполяционный многочлен Ньютона

Полином Лагранжа на системе равноотстоящих интерполяционных узлов

Величина h = x_{i +1} – x_i = const. Тогда произвольный узел x_i = x ₀+ i × h, . Введем переменную t = (x – x ₀)/ h. Тогда

x – x_i = x ₀ + th – x ₀ – ih = (t – i) h. (15)

Подставив разности (15) в равенство (11) получим:

.

Далее, так как

x_j – x_i = (x ₀ + jh) – (x ₀ + ih) = (j – i) h,

то с учетом (15) формула Лагранжа примет вид:

, (16)

где t = (x – x ₀)/ h.

Его погрешность .

Как и в предыдущем случае строится многочлен (2) с соблюдением условий (3) специфического вида. Интерполяционный многочлен Ньютона ищется в следующем виде:

N (x)= a ₀+ a ₁(x – x ₀)+ a ₂(x – x ₀)(x – x ₁)+…+ a_n (x – x ₀)(x – x ₁)…(x – x_{n –1}). (17)

Как и в случае (8) для получения рабочей формулы Ньютона необходимо определить значения коэффициентов a_i. В отличие от технологии расчета (9) для построения интерполяционного многочлена Ньютона вводится рабочий аппарат в виде, так называемых, конечных разностей для системы равноотстоящих интерполяционных узлов и в виде разностных отношений (разделенные разности) для произвольной системы узлов.

Пусть заданны равноотстоящие узлы x_k = x ₀ + kh, h = x_{i +1} – x_i = const > 0. Значения f (x) в них обозначим f (x_k) = f_k = y_k, k =

Конечными разностями первого порядка принято называть величины

D f (x_i) = D f_i = f_{i +1} – f_i; i = .

Конечные разности второго порядка определяются равенствами

i = .

Конечные разности (k +1)-го порядка определяются через разности k -го порядка

i = ; k = . (18)

Конечные разности, как правило, вычисляются по следующей схеме:

Таблица 1

i	fi	D fi	D^2 fi	D^3 fi	…
	f 0
		D f 0
	f 1		D^2 f 0
		D f 1		D^3 f 0
	f 2		D^2 f 1
		D f 2		D^3 f 1
	f 3		D^2 f 2
		D f 3
	f 4
…	…

Каждая последующая конечная разность получается путем вычитания в предыдущей колонке верхней строки из нижней строки. Последняя колонка D ^kf_i будет равна нулю. Заметим, что конечные разности можно выразить непосредственно через значения функций. Так для i -го узла рабочая формула имеет вид:

D ^kf_i =; i = ; k = 1,2,... (19)

Разностными отношениями (разделенными разностями) первого порядка называются величины

f (x ₀, x ₁)= f (x ₁, x ₂)=;...

Здесь x_i – произвольные узлы с соблюдением приоритетности по величине.

По этим соотношениям составляются разностные отношения второго порядка:

f (x ₀, x ₁, x ₂) =; f (x ₁, x ₂, x ₃) =; …

Разделенные разности порядка (k +1), k = 1,2,... определяются при помощи разделенных разностей предыдущего порядка k по формуле:

f (x ₀, x ₁, …, x_{k +1}) =. (20)

Разностные отношения вычисляются по следующей схеме:

Таблица 2

i	xi	fi	f (xi, xi +1)	f (xi, xi +1, xi +2)	…
	x 0	f 0
			f (x 0, x 1)
	x 1	f 1		f (x 0, x 1, x 2)
			f (x 1, x 2)
	x 2	f 2		f (x 1, x 2, x 3)
			f (x 2, x 3)
	x 3	f 3		f (x 2, x 3, x 4)
...	…	…	…	…	…

Для равноотстоящих узлов x_k = x ₀ + kh (k = ) имеет место соотношение между разделенными разностями и конечными разностями

f (x ₀, x ₁, …, x_k) = k = 0,1,2,... (21)

Конечная разность и разделенная разность порядка n от многочлена степени (n) равны постоянной величине, и, следовательно, они для более высокого порядка равны нулю.

Дата добавления: 2014-01-04