Скорость

Рассмотрим движение частицы (т.е. материальной точки) по некоторой траектории. Если за равные, сколь угодно малые промежутки времени Dt частица проходит одинаковые пути Ds, движение частицы называется равномерным. Разделив путь s на время t, за которое он пройден, получим величину

, (1.1)

которую в обыденной жизни называют скоростью частицы. Эта величина численно равна пути, проходимому частицей в единицу времени.

Если движение неравномерное, величина, получаемая делением s на t, дает среднее значение скорости за промежуток времени t:

<v>= (1.2)

(Средние значения величин мы будем обозначать, заключая символы этих величин в угловые скобки.)

Чтобы определить скорость v в некоторый момент времени t, берут следующий за t небольшой промежуток времени Dt (его можно рассматривать как приращение времени) и измеряют путь Ds, пройденный частицей за время Dt (его можно рассматривать как приращение пути). Беря все меньшие промежутки времени Dt (соответственно будут уменьшаться пути Ds), получают значения отношения Ds/Dt, приближающиеся к «истинной» скорости в момент t. В пределе при стремлении Dt к нулю отношение Ds/Dt даст скорость в момент времени t. Аналитически это записывают следующим образом:

v==s^I (1.3)

Выражение (1.3) показывает, что скорость v представляет собой производную пути s по времени t.

Все сказанное до сих пор относится к величине, которую называют скоростью в обыденной жизни. В механике под скоростью понимают векторную величину v, которая характеризует не только быстроту движения частицы по траектории, но и направление, в котором движется частица в каждый момент времени. В соответствии с этим величина, определяемая формулой (1.3), представляет собой не саму скорость v, а ее модуль v.

На рис. 1.3 показана траектория частицы. За время Dt частица получила перемещение Dr, равное приращению радиус-вектора частицы r. Скорость частицы v определяется как предел отношения перемещения частицы Dr к промежутку времени Dt, за который оно произошло, при условии, что Dt стремится к нулю:

v =lim_Dt®0 (1.4)

Выражение (1.4) показывает, что скорость есть производная радиус-вектора по времени.

В физике принято производные по времени обозначать не штрихом, а точкой над буквой, обозначающей данную величину. Поэтому определение (1.4) можно записать в виде

v =. (1.5)

Из рис.1.3 следует, что вектор v направлен по касательной к траектории в той точке, где находится частица в данный момент, в ту сторону, в которую движется частица.

Найдем модуль выражения (1.4), т.е. модуль скорости v:

I v I=½½= (1.6)

На рис.1.3 видно, что отношение при уменьшении Dt стремится к единице. Поэтому преобразуем выражение (1.6) так:

I v I=. (1.7)

Мы пришли к формуле (1.3).

Отметим, что при равномерном движении скорость, изменяясь как угодно по направлению, остается постоянной по модулю.

Положение материальной точки в пространстве задается радиусом-вектором:

r =x e _x+y e _y+z e _z (1.8)

Продифференцируем по времени выражение (1.8) для радиус вектора, учтя, что е _х, е _y, e _z-постоянные векторы. В результате получим для скорости выражение

v == (1.9)

Вместе с тем в соответствии с формулой (1.9) скорость можно представить в виде

v =v_x e _x+v_y e _y+v_z e _z (1.10)

где v_x, v_y, v_z – компоненты скорости, т.е. проекции вектора v на координатные оси.

Дата добавления: 2014-01-04