Строение математической теоремы

Рассмотренные выше логические операции широко используются для формулировки различных утверждений, которые устанавливают свойства математических объектов.

Определение 3.7. Теорема – утверждение, истинность которого необходимо доказать.

Определение 3.8. Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательства.

Всякая теорема (утверждение) формулируется в виде (из следует ; если , то ), а обратное к ней утверждение в виде (из следует ).

Если утверждение верно, а – нет, то – достаточное условие для , а – необходимое, но не достаточное условие для .

Пример 3.10. Делимость числа на 2 – необходимое условие его делимости на 6 (делимость на 6 делимость на 2), а делимость числа на 12 – достаточное условие его делимости на 6 (делимость на 6 делимость на 12).

Таким образом, необходимые условия – те, без которых рассматриваемое утверждение заведомо не может быть верным, а достаточные условие – те, при выполнении которых это утверждение заведомо верно.

Если оба взаимно-обратных утверждения и истинны, т. е. высказывание истинно, то является одновременно необходимым и достаточным условием для , в свою очередь – также является необходимым и достаточным условием . Выражение «необходимо и достаточно» означает справедливость двух взаимно обратных утверждений и , его можно заменить равносильными выражениями «тогда и только тогда», «если и только если», «в том и только в том случае».

Пример 3.11. Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником. Эта утверждение истинно. Обратное к ней – если параллелограмм является прямоугольником, то у него диагонали равны – также является истинным. Таким образом, условие «у параллелограмма диагонали равны» является необходимым и достаточным условием для «параллелограмм является прямоугольником». И наоборот. Сформулируем первоначальную теорему иначе. Для того чтобы параллелограмм был прямоугольником, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были равными.

Определение 3.9. Утверждение называется противоположным к утверждению , где условие и заключение заменяются их отрицаниями и (не , не ).

Если верно прямое утверждение , то и верно утверждение, обратное к противоположному утверждению, т.е. .

Иногда для доказательства теорем используются метод от противного. Чтобы доказать утверждение (или равносильное ему ), предполагают противное, т.е. , и стремятся получить противоречие, например, . Если это удается, то делается вывод о неверности предположения , а значит истинности утверждения .

В основе математических доказательств лежат строгие логические рассуждения. Используются два вида умозаключений: дедукция и индукция, позволяющие сделать выводы соответственно на основании общих знаний для конкретного случая и наоборот – на основании частных случаев об общих рассуждениях.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение понятия «высказывания». 2. Какая функция называется мерным предикатом. 3. Сформулируйте определение операции отрицания. 4. Сформулируйте определение операции конъюнкции. 5. Сформулируйте определение операции дизъюнкции. 6. Сформулируйте определение операции импликации. 7. Сформулируйте определение операции эквивалентности. 8. Сформулируйте законы Аристотеля для операций для высказываний. 9. Запишите ассоциативный, дистрибутивный и коммутативный законы операций над высказываниями. 10. Сформулируйте определение теоремы и аксиомы. 11. В чем заключается метод от противного?

Дата добавления: 2014-01-04