Ортогональные тензоры. Тензор поворота

Некоторые тождества, связанные с определителем тензора

След, векторный инвариант, определитель тензора. Теорема о представлении кососимметричного тензора.

След (trace) тензора - число, получаемое заменой диадного умножения на скалярное:

. (1.8)

Если тензор записан в координатном виде,

то - сумма элементов главной диагонали матрицы. В силу своего определения при любой замене базиса след тензора не изменяется (скалярные произведения от базиса не зависят), поэтому его называют первым инвариантом тензора.

Векторным инвариантом тензора называется вектор, полученный заменой диадного произведения векторным:

или (1.9)

Векторный инвариант симметричного тензора, у которого равен нулю;. что же касается кососимметричного тензора, то можно доказать теорему:

Теорема. Произвольный кососимметричный тензорможет быть единственным образом представлен в виде, (1.10)

где называется сопутствующим вектором тензора.

Доказательство. Поскольку, то и можем записать в виде

Найдем вектор и обозначим его:.

Поскольку координаты содержат по одной лишь компоненте тензора, а не их комбинации, то сопутствующий вектор определяется через единственным образом. Обратно, умножив, убедимся, что.

Определителем (детерминантом) тензора называется число:

, (1.11)

Очевидно, что определение (1.11) не зависит от системы координат и, более того, можно доказать, что оно не зависит и от выбора тройки некомпланарных векторов. Запишем тензор в виде и обозначим для простоты.Тогда

и с помощью (1.5) выражение (1.11) принимает вид определителя матрицы координат тензора в ортонормированном базисе:

(1.12)

Определитель тензора имеет простой геометрический смысл. Обозначим,,. Тогда, вспомнив, что смешанное произведение – объем построенного на перемножаемых векторах параллелепипеда, получим: -отношение «деформированного и повернутого» объема к исходному.

Приведем тождества, которые будут использоваться в дальнейшем. Первое из них, не связанное, правда, с определителем, имеет вид (1.7)

#1: (1.13)

#2. (1.14)

#3 (1.15)

#4 (1.16)

Тождество #2 следует из определения определителя (1.11). Перепишем его в виде,

и, поскольку вектор – любой, то.

Умножив скалярно на справа, приходим к #2.

Тождество #3 линейно относительно, поэтому можем взять в качестве одну диаду. Левая часть примет вид

и по тождеству #2 с учетом того, что получаем #3.

Тождество #4 получается из #3.

«Несущественная» часть доказывается немедленно, если переписать ее в виде.

Замечая далее, что тензор кососимметричный, представим его в виде

по тождеству #3 с учетом того, что равен.

Тензор называется ортогональным, если он удовлетворяет уравнению, или, вспоминая определение обратного тензора.

Пусть векторы преобразуются тензором в =, =, =.

Скалярное произведение не изменяется, то есть не изменяются ни длины векторов, ни углы между ними.

Вычисляя определитель от, получим,.

Из определения следует, что если, то ориентация троек векторов не изменяется, то есть они поворачиваются как жесткая система и поэтому такой тензор называется тензором поворота. Если же определитель равен (-1), то поворот сопровождается т.н. центральной инверсией, изменяющей направления всех векторов на противоположные.

Глава 2. Статика

Статика изучает условия равновесия (покоя) тел в какой-либо системе отсчета. Поскольку в покое скорости равны нулю, тело можем называть твердым, но это не обязательно.

Дата добавления: 2014-01-04