Основные методы интегрирования

Лекция 36. Основные методы интегрирования. Замена переменного (способ подстановки). Интегрирование по частям. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен.

Основных методов интегрирования, то есть основных методов вычисления неопределенных интегралов, четыре:

1) Непосредственное интегрирование.

2) Интегрирование с помощью подстановки (с помощью замены переменной интегрирования).

3) Интегрирование по частям.

4) Приближенное интегрирование.

1. Непосредственное интегрирование.

Этот метод основан на тождественных преобразованиях подынтегральной функции с последующим применением свойств неопределенных интегралов и таблицы основных неопределенных интегралов.

Пример 1. Вычислить

Решение. Оно очевидно:

Итак,

Здесь С - неопределенная константа, представляющая собой комбинацию 2 С ₁-3 С ₂+5 С ₃ неопределенных констант (С₁; С₂; С₃).

Проверка:

- верно.

Этот пример показывает, что при разбиении неопределенного интеграла на сумму или разность нескольких неопределенных интегралов, появляется и несколько неопределенных констант. Но они затем объединяются в одну неопределенную константу. Поэтому при записи суммы или разности нескольких интегралов их неопределенные константы можно не писать, а записать лишь одну общую неопределенную константу С в самом конце.

Пример 2. Вычислить .

Решение:

.

Проверка:

- верно.

2. Интегрирование с помощью подстановки (с помощью замены переменной интегрирования).

Суть этого метода в следующем. Пусть требуется вычислить некоторый неопределенный интеграл Нередко его можно упростить, сведя к табличному, путем замены переменной интегрирования х на какую-то новую переменную (на переменную t), используя подходящую подстановку x = , где - некоторая дифференцируемая функция. Тогда получим следующую схему вычисления неопределенного интеграла с помощью подстановки:

==== ===

Естественно, что применяемая подстановка будет оправданной лишь в том случае, если полученный в результате ее применения интеграл будет проще, чем исходный интеграл .

Примечание. В практических случаях чаще удобнее делать не подстановку вида , а подстановку вида .

Пример 3. Вычислить .

Решение:

==

===

=

Пример 4. Вычислить .

Решение:

=

=.

Пример 5. Вычислить .

Решение:

== ==.

Пример 6. Вычислить .

Решение:

===

Пример 7. Вычислить .

Решение:

=

Дата добавления: 2013-12-13