![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Формула Ньютона-ЛейбницаОпределенный интеграл Для этого промежуток интегрирования [ a; b ] следует разбить не на бесконечно малые участки dx, которых будет бесконечно много, а на конечное число (скажем, на 100) частичных промежутков одинаковой (или не одинаковой) конечной длины из уже конечного числа (из 100) слагаемых. Эта сумма будет приближенным значением определенного интеграла И тут возникает вопрос: а нельзя ли все-таки вычислять определенные интегралы абсолютно точно? Ответ на это вопрос такой: можно, хотя далеко и не всегда. Для точного подсчета определенных интегралов, если оно возможно, применяется знаменитая формула Ньютона-Лейбница. Суть ее в следующем. Пусть f(x) – непрерывная на [ a; b ] функция, так что
Тогда точное значение
Здесь F(x) – любая первообразная для функции f(x). Формула (36) называется формулой Ньютона-Лейбница. Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница докажем сначала, что функция
то есть определенный интеграл с переменным верхним пределом, имеет на [ a; b ] производную Ф΄(x), совпадающую с f(x) (Ф΄(x) = f(x)). Действительно,
Но
А значит, согласно (38), получаем:
Отметим, что заодно мы доказали следующий принципиальный факт: у любой непрерывной на [ a; b ] функции f(x) имеется первообразная F(x). Ею, в частности, является функция Ф(х). А значит, для любой непрерывной на [ a; b ] функции f(x) существует для x Î [ a; b ] и неопределенный интеграл (35). Хотя, как мы уже замечали, он далеко не всегда может быть выражен через элементарные функции (может оказаться неберущимся). Найдя приближенно (машинным путем) функцию Ф(х), мы тем самым найдем приближенно и А теперь перейдем непосредственно к доказательству формулы Ньютона-Лейбница (36). Пусть F(x) – любая первообразная для функции f(x) на [ a; b ]. Так как она может отличаться от указанной выше первообразной Ф(х) лишь на константу, то
Полагая в этом равенстве х = а, получаем:
Значит, равенство (41) принимает вид:
А теперь, полагая в (44) х = b, получим:
Но это, по сути, это и есть формула (36) Ньютона-Лейбница. Пример 3. Вычислить Решение. Вычислим сначала
А тогда
Геометрическая иллюстрация полученного результата изображена ниже:
Формула Ньютона-Лейбница (36) принадлежит к числу важнейших формул высшей математики. Она позволяет просто, а главное, точно вычислять определенные интегралы. А значит, позволяет находить точные значения многих нужных для практики величин (площадей криволинейных фигур; помещений тел при переменных скоростях их движения; работ переменных сил и многое другое). Но она может быть использована, если только соответствующий неопределенный интеграл Если неопределенный интеграл
Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 850; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |