Момент силы относительно точки как вектор

Формулы для моментов силы относительно координатных осей

Пусть дана сила F, приложенная к телу в точке А, координаты которой обозначим х, у и z. Проекции этой силы на координатные оси обозначим через Х, Y и Z (рис.7.3)

Рис.7.3.

Найдем момент силы F относительно оси z. Для этого спроектируем силу эту силу на плоскость Оху и обозначим ее проекцию через f. Тогда

Разложим вектор f на две составляющие , параллельные осям х и у. Эти составляющие равны по модулю проекциям силы F на оси х и у, т.е ac=X и ad=Y.

На основании теоремы Вариньона получим:

, следовательно .

Но, так как (рис.7.4) и

То .

Аналогично можно получить остальные формулы:

Рис.7.4.

Из теоремы Вариньона известно, что моменты сил, лежащих в одной плоскости, складываются алгебраически. Также алгебраически складываются моменты пар, расположенных в одной плоскости. Говоря о приведении плоской системы сил к данному центру, при переносе точки приложения силы F в какую-нибудь точку О, не лежащую на линии действия силы (рис.7.5), получается присоединенная пара (F, F''), причем

Рис.7.5.

В этом равенстве под моментом пары и моментом силы относительно точки О, мы понимали алгебраические значения момента присоединенной пары и момента силы F относительно точки О. Но в случае, когда пары лежат в пересекающихся плоскостях, их моменты складываются по правилу векторного, или геометрического сложения, и в этом случае приходится рассматривать момент пары как векторную величину. Поэтому, при изучении произвольной системы сил, момент силы относительно данной точки следует рассматривать как вектор.

Поэтому при изучении произвольной системы сил мы будем рассматривать момент силы относительно какой-нибудь точки как вектор, равный вектору моменту той присоединенной пары, которую получим, перенося данную силу в эту точку.

Зная, как определяются модуль и направление вектора-момента пары, можно дать определение момента силы относительно точки:

1. Модуль момента силы F относительно точки О равен произведению модуля этой силы на длину перпендикуляра h, опущенного из точки О на линию действия силы и численно равен удвоенной площади треугольника ОАВ, который получится при соединении начало и конца силы F с точкой О (рис.7.5)

2. Момент силы F относительно точки О направлен по перпендикуляру к плоскости, в которой лежит вектор F и точка О, притом в ту сторону, чтобы смотря с конца вектора-момента на силу F, мы видели эту силу, направленной против движения часовой стрелки относительно точки О (рис.7.6)

Вектор m_О есть вектор момент силы F относительно точки О, равный моменту пары (F, F'') Начало вектора-момента силы F относительно точки О совпадает с этой точкой.

Рис.7.6.

Когда сила F и точка О даны, вектор m _О вполне определен, поэтому при построении этого вектора не надо переносить силу F в точку О и рассматривать присоединенную пару. Понятно, что с изменением положения точки О вектор m_О изменяется по модулю и направлению, за исключением случая, когда точка О перемещается по прямой параллельной линии действия силы F. Т.е. модуль и направление момента силы относительно точки зависят не только от этой силы, но и от положения этой точки.

При переносе точки приложения силы F в любую точку тела по линии действия этой силы вектор момента силы m_О не изменяется.

Дата добавления: 2013-12-13