Неполные уравнения плоскостей

Общее уравнение плоскости (поверхность первого порядка)

Теорема. В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени, и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Доказательство.

Возьмем на плоскости P произвольную точку .

Выберем вектор , перпендикулярный плоскости.

Пусть – произвольная точка, она лежит на плоскости , если , то уравнение плоскости определяется условием .

Так как координаты векторов равны и ,то их скалярное произведение равно

.

Уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , имеет вид:

.

Раскрыв скобки, и обозначив , получим уравнение первой степени или общее уравнение плоскости:

.

ПРИМЕР:Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к вектору .

Искомое уравнение примет вид: ,
.

Если два уравнения и определяют одну и ту же плоскость, то их отличные от нуля коэффициенты пропорциональны:

.

Рассмотрим частные случаи уравнения первой степени
.

1. D = 0: Ax + By + Cz = 0.
Это уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат.

2. A = 0: By + Cz + D = 0.

B = 0: Ax + Cz + D = 0.

C = 0: Ax + By + D = 0.

Эти уравнения определяют плоскости, параллельные соответственно координатным осям OX, OY, OZ, так как соответствующие компоненты нормального вектора плоскости равны нулю.

3. A = 0, B = 0: Cz + D = 0.

A = 0, C = 0: By + D = 0.

B = 0, C = 0: Ax + D = 0.

Эти уравнения определяют плоскости, параллельные соответственно координатным плоскостям OXY, OXZ, OYZ.

4. A = 0, B = 0, D = 0: Cz = 0.

A = 0, C = 0, D = 0: By = 0.

B = 0, C = 0, D = 0: Ax = 0.

Эти уравнения определяют координатные плоскости XOY, XOZ,YOZ.

Уравнение плоскости «в отрезках»

Пусть коэффициенты в общем уравнении плоскости отличны от нуля. Преобразуем общее уравнение плоскости:

Если обозначить , получим

уравнение плоскости «в отрезках»:

, где

представляют собой отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.

ПРИМЕР:Какие отрезки отсекает на осях координат плоскость

2 x – 4 y + 6 z –12 = 0?

Приведем общее уравнение плоскости к виду уравнения «в отрезках»:

.

Отрезки, отсекаемые на осях, равны a = 6, b = –3, c = 2.

Дата добавления: 2013-12-13