Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Основная теорема матричных игр

Основная теорема матричных игр (теорема Д. фон Неймана) утверждает, что каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий, то есть всегда имеет место равенство

(4.2.1)

Смешанные стратегии и , удовлетворяющие равенству (4.2.1) называют оптимальными (они образуют ситуацию равновесия), а величину γ ―средний результат игры при использовании оптимальных смешанных стратегий называют ценой игры.

Если оба игрока используют свои оптимальные смешанные стратегии, то

(4.2.2)

Для того, чтобы в матричной игреситуацияв смешанных стратегиях и была ситуацией равновесия, необходимо и достаточно, чтобы условие (4.2.2) выполнялось не для всех возможных смесей активных чистых стратегий, а только для всех чистых стратегий игроков 1 и 2.

Если один из игроков использует свою оптимальную смешанную стратегию, то его средний выигрыш(проигрыш) остается неизменным и равным цене игры γ независимо от того, какой смесью активных чистых стратегий пользуется другой игрок.

В частности, средний выигрыш игрока 1 (средний проигрыш игрока 2) остается неизменным и равным цене игры γ при использовании игроком 2 (игроком 1) любой чистой стратегии.

Докажем это для игры m × n. Пусть решение игры , . Обозначим γ 1, γ 2,…, γn выигрыши игрока 1 при использовании игроком 2 чистых стратегий y 1, y 2,…, yn.

Из определения оптимальной стратегии следует, что любое отклонение игрока 2 от стратегии не может быть ему выгодно, поэтому его проигрыши γ 1 γ, γ 2 γ,…, γnγ. Но возможно ли это? Поскольку в стратегии чистые стратегии y 1, y 2,…, yn применяются с частотами q 1, q 2,…, qn, то средний проигрыш игрока B (цена игры)

(4.2.3)

Очевидно, что если хотя бы одна из величин γ 1, γ 2,…, γn больше γ, то есть равна γ+∆γ, а другие равны γ, то это противоречит системе (4.2.3). Таким образом, доказано свойство оптимальных смешанных стратегий.

Итак, все сказанное справедливо, если игровая ситуация повторяется многократно в сходных условиях и осреднение результатов игр допустимо; каждый игрок не имеет информации о конкретном, хотя и случайном выборе стратегии другим игроком. Если же игрок 2 информирован о действиях игрока 1, то есть знает его конкретную стратегию xi в каждом повторении игры, то средний выигрыш игрока 1 при использовании им смешанной стратегии может оказаться меньше гарантированной при максиминной чистой стратегии нижней цены игры α. В этом случае игрок 2 наказывает игрока 1 за отклонение от максиминной чистой стратегии.

 


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Смешанные стратегии | Решение матричной игры
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 7553; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.