КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Формулы и ряды Тейлора элементарных функций
1) . Эта функция бесконечно дифференцируема на : , , , . Формула Тейлора с и остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид: , , . На отрезке , где при . То есть на функцияразлагается в ряд Маклорена по степеням x: . J Пример 19.2. Вычислим e с точностью до 0,001: , где , . Надо подобрать n настолько большим, чтобы . Так как , решим неравенство . Оно начинает выполняться при . Следовательно, . J
2) . Данная функция имеет производную любого порядка и . Надо учесть, что Функция разлагается в сходящийся к ней на ряд Тейлора по степеням x: . Формула Тейлора функции по степеням x имеет вид: , где , . Отсюда следует, что и . J Пример 19.3. Вычислим . Ряд Тейлора для синуса . Поэтому , то есть . На самом деле остаток имеет вид , но для наших целей достаточно . Надо иметь в виду, что если некоторая функция от x есть , то она есть также (но вообще не наоборот). J
3) . Аналогично можно получить, что . J Пример 19.4. (с точностью до ). J J Пример 19.5. Вычислим . По аналогии с примером 19.3 получим , то есть . J
4) Функция определена и сколько угодно раз дифференцируема для . Для при запишем формулу Тейлора. Так как , , то формула Тейлора имеет вид: . При , поэтому . Например, .
5) Функция . Производные , . Формула Тейлора по степеням x имеет вид: . Для при , поэтому . Если , то функция есть многочлен. В этом случае для и ряд представляет собой конечную сумму – многочлен Тейлора.
[1] Тейлор Брук (1685-1731) – английский математик. [2] Маклорен Колин (1698-1746) – шотландский математик. [3] Пеано Джузеппе (1858-1932) – итальянский математик.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 349; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |